Cauchy-Krit., Sandw.-lemma < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 19.03.2013 | | Autor: | Foto |
Guten Tag,
ich wiederhole zur Zeit Analysis und habe ich einige Fragen zum Thema Folgen.
1.) Ich habe mir im Internet ein Beweis für das Cauchy-Kriterium gesucht, weil ich das aus dem Skript nicht verstanden habe. Der Beweis den ich gefunden habe, ist aber viel kürzer, deshalb bin ich mir unsicher, ob das ausreicht. Ich weiß, dass es mehrere Beweise geben kann, aber trotzdem wollte ich ganz sicher sein:
Satz: Jede Cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] konvergiert
Beweis: Wir wissen schon, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist und hat somit einen Häufungspunkt c, d.h. eine gegen x konvergente Teilfolge. Die Konvergenz einer Teilfolge [mm] a_{n}_{k} [/mm] einer Cauchyfolge [mm] a_{n} [/mm] gegen x impliziert aber die Konvergenz der ganzen Folge gegen x. Das sieht man so: Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Da [mm] a_{n} [/mm] Cauchyfolge ist, existiert ein [mm] n_{\varepsilon} \in \IN [/mm] s.d.
[mm] |a_{n}-a_{m}|< \varepsilon/2 \forall [/mm] n,m> [mm] n_{\varepsilon}. [/mm] Da [mm] a_{n}_{k} [/mm] gegen x konvergiert, exisitiert ein [mm] k_{\varepsilon} [/mm] mit [mm] n_{k}_{\varepsilon}>n_{\varepsilon} [/mm] und [mm] |a_{n}_{k}_{\varepsilon}-x|<\varepsilon/2. [/mm] Dann ist für alle [mm] n>n_{\varepsilon}
[/mm]
[mm] |a_{n}-x|=|a_{n}-a_{n}_{k}_{\varepsilon}+a_{n}_{k}_{\varepsilon}-x|<|a_{n}-a_{n}_{k}_{\varepsilon}|+|a_{n}_{k}_{\varepsilon}-x|<\varepsilon
[/mm]
2.) Der Satz von Bolzano Weierstraß sagt doch dass jede beschränkte Folge besitzt mind. eine konvergente Teilfolge, das bedeutet mind. einen Häufungspunkt.
Ich verstehe nicht warum dieser Satz gilt. Ich habe versucht dies anschaulich zu erklären aber das hat nicht geklappt. Also ich will keinen Beweis, sondern eine verbale Erklärung warum dieser Satz gilt.
3.) Das Sanwich-lemma:
Hier habe ich auch eine Frage zum Beweis: Sei [mm] \varepsilon>0, [/mm] so liegen fast alle [mm] a_{n} [/mm] und fast alle [mm] b_{n} [/mm] in [mm] U_{\varepsilon}(a). [/mm] Das gilt ja nach Definition von Folgenkonvergenz.
Dann müssen aber auch fast alle [mm] c_{n} [/mm] in [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] liegen->Beh.
Meine Frage dazu ist jetzt müssen fast alle [mm] c_{n} [/mm] in [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] liegen, weil nach Voraussetzung [mm] a_{n} \le c_{n} \le b_{n} [/mm] gilt?
Und was heißt es überhaupt wenn eine folge kleiner als die andere ist?
Vielleicht dass ihre ganzen Folgengleider kleiner sind als die der anderen.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 19.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag,
> ich wiederhole zur Zeit Analysis und habe ich einige
> Fragen zum Thema Folgen.
>
> 1.) Ich habe mir im Internet ein Beweis für das
> Cauchy-Kriterium gesucht, weil ich das aus dem Skript nicht
> verstanden habe. Der Beweis den ich gefunden habe, ist aber
> viel kürzer, deshalb bin ich mir unsicher, ob das
> ausreicht. Ich weiß, dass es mehrere Beweise geben kann,
> aber trotzdem wollte ich ganz sicher sein:
> Satz: Jede Cauchyfolge in [mm]\IR[/mm] konvergiert
> Beweis: Wir wissen schon, dass jede Cauchyfolge
> beschränkt ist und hat somit einen Häufungspunkt c, d.h.
> eine gegen x konvergente Teilfolge.
Es soll wohl x=c sein.
> Die Konvergenz einer
> Teilfolge [mm]a_{n}_{k}[/mm] einer Cauchyfolge [mm]a_{n}[/mm] gegen x
> impliziert aber die Konvergenz der ganzen Folge gegen x.
> Das sieht man so: Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm] Da [mm]a_{n}[/mm] Cauchyfolge
> ist, existiert ein [mm]n_{\varepsilon} \in \IN[/mm] s.d.
> [mm]|a_{n}-a_{m}|< \varepsilon/2 \forall[/mm] n,m> [mm]n_{\varepsilon}.[/mm]
> Da [mm]a_{n}_{k}[/mm] gegen x konvergiert, exisitiert ein
> [mm]k_{\varepsilon}[/mm] mit [mm]n_{k}_{\varepsilon}>n_{\varepsilon}[/mm] und
> [mm]|a_{n}_{k}_{\varepsilon}-x|<\varepsilon/2.[/mm] Dann ist für
> alle [mm]n>n_{\varepsilon}[/mm]
>
> [mm]|a_{n}-x|=|a_{n}-a_{n}_{k}_{\varepsilon}+a_{n}_{k}_{\varepsilon}-x|<|a_{n}-a_{n}_{k}_{\varepsilon}|+|a_{n}_{k}_{\varepsilon}-x|<\varepsilon[/mm]
Ja , das ist der "übliche " Beweis.
>
> 2.) Der Satz von Bolzano Weierstraß sagt doch dass jede
> beschränkte Folge besitzt mind. eine konvergente
> Teilfolge, das bedeutet mind. einen Häufungspunkt.
> Ich verstehe nicht warum dieser Satz gilt. Ich habe
> versucht dies anschaulich zu erklären aber das hat nicht
> geklappt. Also ich will keinen Beweis, sondern eine verbale
> Erklärung warum dieser Satz gilt.
Den Satz von Bolzano Weierstraß kann man z.B. so beweisen (dann wird auch anschaulich klar, was los ist):
Man zeigt zunächst das (für sich schon interessante)
Lemma: ist [mm] (a_n) [/mm] eine reelle Folge, so enthält [mm] (a_n) [/mm] eine monotone Teilfolge.
Ist nun [mm] (a_n) [/mm] auch noch beschränkt, so ist die monotone Teilfolge aus obigem Lemma
beschränkt und monoton.
Nach dem Monotoniekrit. ist dies Teilfolge dann konvergent.
>
> 3.) Das Sanwich-lemma:
> Hier habe ich auch eine Frage zum Beweis: Sei
> [mm]\varepsilon>0,[/mm] so liegen fast alle [mm]a_{n}[/mm] und fast alle
> [mm]b_{n}[/mm] in [mm]U_{\varepsilon}(a).[/mm] Das gilt ja nach Definition
> von Folgenkonvergenz.
> Dann müssen aber auch fast alle [mm]c_{n}[/mm] in
> [mm]U_{\varepsilon}(a)[/mm] liegen->Beh.
> Meine Frage dazu ist jetzt müssen fast alle [mm]c_{n}[/mm] in
> [mm]U_{\varepsilon}(a)[/mm] liegen, weil nach Voraussetzung [mm]a_{n} \le c_{n} \le b_{n}[/mm]
> gilt?
Ja
> Und was heißt es überhaupt wenn eine folge kleiner als
> die andere ist?
> Vielleicht dass ihre ganzen Folgengleider kleiner sind als
> die der anderen.
[mm] a_n \le b_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Gruß
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Zu 2.
Wenn die Folge beschränkt ist, bedeutet das, dass alle Folgeglieder in ein Intervall fallen. Es sind unendlich viele.
Gehe nun in die Mitte des Intervalls.
Von den unendlich vielen Folgegliedern müssen nun unendlich viele in der ersten oder unendlich viele in der 2. Hälfte befinden (oder beides). Du suchst dir nun die Intervallhälfte mit unendlich vielen Folgegliedern aus. Darin gehst du wieder in die Mitte.
Von den unendlich vielen Folgegliedern müssen nun unendlich viele in der ersten oder unendlich viele in der 2. Hälfte befinden (oder beides). Du suchst dir nun die Intervallhälfte mit unendlich vielen Folgegliedern aus. Darin gehst du wieder in die Mitte.
Von den unendlich vielen Folgegliedern müssen nun unendlich viele in der ersten oder unendlich viele in der 2. Hälfte befinden (oder beides). Du suchst dir nun die Intervallhälfte mit unendlich vielen Folgegliedern aus. Darin gehst du wieder in die Mitte. ...
Auf diese Weise bekommst du ein immer kleineres Intervall mit unendlich vielen Folgegliedern, das sich immer mehr auf einen Punkt zusammenzieht, dem Häufungspunkt.
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