Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
> Für $ [mm] n\in\IN [/mm] $ sei
> $ [mm] a_n:=b_n:=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}} [/mm] $ und $ [mm] c_n:=\summe_{k=0}^n{a_{n-k}b_k}. [/mm] $
> Man zeige, dass die Reihen $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] $ konvergieren, ihr Cauchy-Produkt $ > [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] $ aber nicht konvergiert.
> Ich habe nun das Leibniz-Kriterium angewandt:
> Es gilt: n+2>n+1, also $ [mm] \wurzel{n+2}>\wurzel{n+1} [/mm] $
> $ [mm] \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{n+2}}<\bruch{1}{\wurzel{n+1}}, [/mm] $ also ist die Folge $ [mm] a_n=\bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] $ monoton fallend.
> Außerdem gilt: $ [mm] \wurzel{n+1} [/mm] $ divergiert bestimmt, also gilt $ [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{1}{\wurzel{n+1}}=0 [/mm] $
> Also konvergiert obige Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.
Na wunderbar, das ist alles korrekt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Und noch eine kurze Frage: $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] $ ist doch nicht das Gleiche wie $ [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot{}(\summe_{n=0}^{\infty}b_n) [/mm] $ oder? Sonst würde das doch konvergieren...
Das gilt nur, wenn [mm] $\summe a_n$ [/mm] und [mm] $\summe b_n$ [/mm] absolut konvergent sind. Dann konvergiert jede der Produktreihen von [mm] $\summe a_n,\summe b_n$ [/mm] gegen [mm] $\left(\summe_{n=0}^{\infty} a_n\right)\cdot\left(\summe_{n=0}^{\infty} b_n\right)$. [/mm] Sind [mm] $\summe a_n,\summe b_n$ [/mm] allerdings nicht absolut konvergent, so brauchen die Produktreihen, insbesondere also das Cauchy-Produkt, nicht zu konvergieren. Dies ist genau hier der Fall. Die Reihen [mm] $\summe a_n,\summe b_n$ [/mm] konvergieren zwar, allerdings nur bedingt, d.h. nicht absolut. Folglich kann ihr Cauchy Produkt durchaus divergieren.
Um dies zu untersuchen, rechnen wir erst einmal die Reihenglieder [mm] $c_n$ [/mm] des Cauchyproduktes von [mm] $\summe a_n$ [/mm] und [mm] $\summe b_n$ [/mm] aus. Es gilt nach Definition:
[mm] $c_n [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{n-k} b_k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n-k}\cdot (-1)^{k}}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}=(-1)^{n} \summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$.
[/mm]
Für den Beweis der Divergenz von [mm] $\summe c_n$ [/mm] ist es hinreichend zu zeigen, dass [mm] $(c_n)_{n\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist. Du kannst also den Betrag der [mm] $c_n$ [/mm] betrachten und schauen, ob du diesen nach unten durch eine Konstante größer Null abschätzen kannst.
Wenn ich mich jetzt nicht arg vertue, reicht dafür eine sehr grobe Abschätzung. Du kannst [mm] $\frac{1}{\sqrt{n-k+1}}$ [/mm] durch [mm] $\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ [/mm] nach unten abschätzen, es ist also [mm] $\vert c_n\vert \ge \frac{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}}\stackrel{k \le n}{\ge} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\wurzel{n+1}}*(n+1)*\frac{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] =1$. Damit ist alles gezeigt.
Um ehrlich zu sein, habe ich kein gutes Gefühl dabei - ich habe evt. irgendwo einen dicken Schusselfehler drinne. Bitte also mal drüberlesen!
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
> Wenn ich mich jetzt nicht arg vertue, reicht dafür eine
> sehr grobe Abschätzung. Du kannst [mm]\frac{1}{\sqrt{n-k+1}}[/mm]
> durch [mm]\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm] nach unten abschätzen, es ist
> also [mm]\vert c_n\vert \ge \frac{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}}\stackrel{k \le n}{\ge} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\wurzel{n+1}}*(n+1)*\frac{1}{\wurzel{n+1}} =1[/mm].
> Damit ist alles gezeigt.
>
>
Ich verstehe nicht ganz die rechnung, sitze aber vor der selben aufgabe.
Am Ende heißt es ja:
$ [mm] \frac{1}{\wurzel{n+1}}\cdot{}(n+1)\cdot{}\frac{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] =1 $
Woher kommt denn die Mulitplikation mit (n+1) her?
|
|
|
| |
|
> > Wenn ich mich jetzt nicht arg vertue, reicht dafür eine
> > sehr grobe Abschätzung. Du kannst [mm]\frac{1}{\sqrt{n-k+1}}[/mm]
> > durch [mm]\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm] nach unten abschätzen, es ist
> > also [mm]\vert c_n\vert \ge \frac{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}}\stackrel{k \le n}{\ge} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\wurzel{n+1}}*(n+1)*\frac{1}{\wurzel{n+1}} =1[/mm].
> > Damit ist alles gezeigt.
> >
> >
> Ich verstehe nicht ganz die rechnung, sitze aber vor der
> selben aufgabe.
> Am Ende heißt es ja:
>
> [mm]\frac{1}{\wurzel{n+1}}\cdot{}(n+1)\cdot{}\frac{1}{\wurzel{n+1}} =1[/mm]
>
> Woher kommt denn die Mulitplikation mit (n+1) her?
Hallo,
schau Dir [mm] \summe_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] an.
Man der Summationsindex ist k, nicht n - so etwas übersieht man leicht...
Man muß also für k=0, k=1, ...k=n jeweils [mm] {\sqrt{n+1}} [/mm] addieren, insgesamt ergibt das [mm] (n+1)*{\sqrt{n+1}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
$ [mm] {\sqrt{n+1}} [/mm] $
wenn ich jetzt die sachen addiere, dann hab ich sqrt1 + sqrt2 + sqrt3....sqrt(n+1)....(geht das denn überhaupt? wo setzte ich denn das k ein? In der Summe ist ja kein k mehr da... Ich verstehe leider immer noch nicht, wie man dadurch auf (n+1)*sqrt(1/(n+1)) kommt. Wurde hier irgendein Gesetz bzw. eine Formel benutzt?
|
|
|
| |
|
> [mm]{\sqrt{n+1}}[/mm]
>
> wenn ich jetzt die sachen addiere, dann hab ich sqrt1 +
> sqrt2 + sqrt3....sqrt(n+1)....(geht das denn überhaupt? wo
> setzte ich denn das k ein? In der Summe ist ja kein k mehr
> da...
Das ist doch mein Reden! Da ist nix einzusetzen!
Es ist Dein [mm] \bruch{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] hinter der Wurzel eine KONSTANTE, denn da kommt kein Summationsindex drin vor, also ist
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{\sqrt{n+1}}=\bruch{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=1}^{n}1, [/mm] was bedeutet
[mm] ...=\bruch{1}{\sqrt{n+1}}(\underbrace{1+1+...+1}_{(n+1)-mal}).
[/mm]
> Wurde hier irgendein Gesetz
> bzw. eine Formel benutzt?
Ja, wie immer in der Mathematik. Hier: (n+1)-mal die 1 summiert. Stichwort: leere Summe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
zuerst mal danke für die Mühe. Hab unter leere Summe nachgeschaut...Eine leere Summe ist 0. das hier hab ich verstanden:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{n+1}}=\bruch{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=1}^{n}, [/mm] $
das hier leider noch nicht:
$ [mm] ...=\bruch{1}{\sqrt{n+1}}(\underbrace{1+1+...+1}_{(n+1)-mal}). [/mm] $
eine leere summe ich doch 0 und nicht 1+1+1+1+1+1...
Also steht zumindestens unter wikipedia so...
|
|
|
| |
|
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{n+1}}=\bruch{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=1}^{n},[/mm],
Hallo,
ganz so leer sollte die Summe doch nicht sein - wenn ich [mm] \bruch{1}{\sqrt{n+1}} [/mm] ausklammere, bleibt natürlich die 1 sehen, also
[mm] \bruch{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=0}^{n}1,
[/mm]
womit sich dann der Rest klären dürfte.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Du hattest bestimmt noch nie son dummen "schüler" wie mir,aber
ich hab immer noch eine frage :(
$ [mm] \bruch{1}{\sqrt{n+1}}\summe_{k=1}^{n}1, [/mm] $ warum ist das (n+1)
wenn ich sage, n=5
[mm] $\summe_{k=1}^{5}1, [/mm] $, dann ergibt das doch 5 und nicht (5+1)=6
|
|
|
| |
|
> Du hattest bestimmt noch nie son dummen "schüler" wie
> mir,
Dein Einwand ist wiederum berechtigt, v. dumm keine Spur...
In der Ursprungssumme begann die Summation bei k=0, worauf ich beim Hineinkopieren der Summe nicht geachtet habe.
Ich glaube wirklich, Du hast es jetzt verstanden, und ich arbeite nun noch diese Panne nach und entschuldige mich reumütig für die Verwirrung, die ich gestiftet habe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen dank,
ich glaub ich habs jetzt auch wirklich verstanden. Ist echt gut, so eine zusätzliche Hilfe zu haben, wo auch einfache Fragen geklärt werden können. Dafür hat der Prof bei 400 Studenten ja keine Zeit.
Danke nochmals :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Di 02.08.2005 | | Autor: | Marcel |
Lieber Hanno!
> > Für [mm]n\in\IN[/mm] sei
>
> > [mm]a_n:=b_n:=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}[/mm] und
> [mm]c_n:=\summe_{k=0}^n{a_{n-k}b_k}.[/mm]
>
> > Man zeige, dass die Reihen [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_n[/mm] konvergieren, ihr Cauchy-Produkt [mm]> \summe_{n=0}^{\infty}c_n[/mm]
> aber nicht konvergiert.
>
> > Ich habe nun das Leibniz-Kriterium angewandt:
>
> > Es gilt: n+2>n+1, also [mm]\wurzel{n+2}>\wurzel{n+1}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{\wurzel{n+2}}<\bruch{1}{\wurzel{n+1}},[/mm]
> also ist die Folge [mm]a_n=\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] monoton
> fallend.
>
> > Außerdem gilt: [mm]\wurzel{n+1}[/mm] divergiert bestimmt, also gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{\wurzel{n+1}}=0[/mm]
>
> > Also konvergiert obige Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.
>
> Na wunderbar, das ist alles korrekt .
>
> > Und noch eine kurze Frage: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_n[/mm] ist
> doch nicht das Gleiche wie
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot{}(\summe_{n=0}^{\infty}b_n)[/mm]
> oder? Sonst würde das doch konvergieren...
>
> Das gilt nur, wenn [mm]\summe a_n[/mm] und [mm]\summe b_n[/mm] absolut
> konvergent sind.
Es genügt, vorauszusetzen, dass eine der Reihen konvergiere und die andere absolut konvergiere (![[]](/images/popup.gif) Skript, Satz 6.26)!
PS: Ich habe deine "Schusselfehler" korrigiert, da sie hauptsächlich Tippfehler waren  und am Ende die Abschätzung ein klein wenig ergänzt!
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
|
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]"){kind=small}
,
