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Hallo! Ich habe da noch eine Aufgabe und wüsste gern, ob ich sie richtig gelöst habe:
Hier die Aufgabenstellung:
Berechne das Cauchy - Produkt der konvergenten Reihe Summe von n=1 bis unendlich [mm] (-1)^n [/mm] * 1/Wurzeln mit sich selbst und zeige, dass diese Reihe nicht konvergiert.
Hier meine Lösung:
Nach der Definition des Cauchy - Produkt gilt:
(Summe von n=1 bis Unendlich [mm] a_n)*(Summe [/mm] von n=1 bis Unendlich [mm] b_n) [/mm] = Summe von n=1 bis Unendlich [mm] c_n
[/mm]
dabei ist Summe [mm] c_n [/mm] 0 Summe von j=1 bis n [mm] a_j [/mm] * [mm] b_n-j
[/mm]
und
[mm] a_n [/mm] = [mm] b_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * 1/Wurzel n
Also:
[mm] c_n [/mm] = Summe von j=1 bis [mm] n((-1)^n/Wurzel [/mm] j * [mm] (-1)^n-j/Wurzel [/mm] n-j)
[mm] c_n [/mm] = Summe von j=1 bis [mm] n(-1)^n/Wurzel [/mm] j * Wurzel n-j
[mm] c_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] Summe von j=1 bis n 1/ Wurzel j * Wurzel n- j
[mm] d_n [/mm] = Summe von j=1 bis n 1/ Wurzel j * Wurzel n- j
Nun zur Konvergenz: Wie zeige ich das diese Reihe divergiert?
Liebe Grüße,
Die_Anfängerin
P.S.: Ich hoffe ihr könnt das so lesen wie ich das aufgeschrieben habe!?
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Andrea
ich versuche erstmal, deine Zeilen in eine lesbarere Form zu konvertieren und dabei auch gleich einige kleine Fehler zu korrigieren:
Hallo! Ich habe da noch eine Aufgabe und wüsste gern, ob ich sie richtig gelöst habe:
Hier die Aufgabenstellung:
Berechne das Cauchy - Produkt der konvergenten Reihe
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{1}{\wurzel{n}}$
[/mm]
mit sich selbst und zeige, dass diese Reihe nicht konvergiert.
Hier meine Lösung:
Nach der Definition des Cauchy - Produkt gilt:
[mm] $(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}) [/mm] * [mm] (\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}c_{n}$
[/mm]
Dabei ist [mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n}a_{j}*b_{n-j}$
[/mm]
Mit [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}$also:
[/mm]
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}*\bruch{1}{\wurzel{j}} [/mm] * [mm] (-1)^{n-j}*\bruch{1}{\wurzel{n-j}}$
[/mm]
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{j} * \wurzel{n-j}}$
[/mm]
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n}* \sum_{j=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{j} * \wurzel{n-j}}$
[/mm]
[mm] $d_{n} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{j} * \wurzel{n-j}}$
[/mm]
Nun zur Konvergenz: Wie zeige ich das diese Reihe divergiert?
Liebe Grüße,
Die_Anfängerin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:12 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Andrea
bitte überprüfe, ob ich deinen Text korrekt umgesetzt habe.
Den Teil mit dem [mm] $d_{n}$ [/mm] habe ich nicht ganz begriffen.
Ich denke aber, für gerade $n$ stimmt das so, und wenn man zeigen kann, dass die Summen mit [mm] $d_{n}$ [/mm] divergiert, dann divergiert das Ganze (weil es ja mit ungeraden $n$ genau auf die andere Seite ausschlägt.)
Wahrscheinlich mache ich es mir zu einfach, aber mit deiner letzten Zeile (nach meiner Interpretation also für gerade $n$) ist also die Divergenz von folgendem Ausdruck nachzuweisen:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}d_{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{j=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{n-j}})$
[/mm]
Ich denke, dass folgende Ungleichungen gelten:
[mm] $d_{n}=\sum_{j=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{n-j}} [/mm] > [mm] \sum_{j=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n}*\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n}\bruch{1}{n} [/mm] = 1$
Damit gilt:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}d_{n} [/mm] > [mm] \sum_{n=1}^{\infty}1$
[/mm]
Der Ausdruck rechterhand strebt ersichtlich gegen [mm] $\infty$
[/mm]
Bitte Andrea, überprüfe ganz kritisch meine Ideen, denn die stammen von mir persönlich und sind deshalb mit grosser Wahrscheinlichkeit noch korrekturbedürftig. Kann es tatsächlich so einfach sein?? 
Mit lieben Grüssen
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