Cauchy - Taylor/Eulerscher Pol < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Do 24.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | gegeben:
y'=(2t+1)*(y+3) [mm] t\in[1,T]
[/mm]
y(1)=1
gesucht:
a) Schreiben Sie für dieses Beispiel die Taylorreihe der 2.Ordnung
b) Nähern Sie sich y(1,5) mit dem eulerschen Polygonzug-Verfahren mit Schrittweite h=0.25
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Hallo alle zusammen
a) Also eine Lösung habe ich vorgegeben, ich habe jedoch keinerlei Literatur gefunden um einen allgemeinen Lösungsweg zu finden bzw. verstehe hier keinen Zusammenhang zwischen Cauchy und Taylor:
[mm]y=(2t+1)*(y+3) [/mm]
[mm]y'=(2t+1)*(y+3)[/mm]
[mm]y''=2*(y+3)+(2t+1)y'[/mm]
[mm] y''=2*(y+3)+(2t+1)^2*(y+3)
[/mm]
Taylor II° Ordnung:
[mm] \begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3)+\bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2] \\ u_0=1 \end{cases}
[/mm]
Die allgemeine Taylorform ist ja [mm] f(a)+f'(a)/1!*(x-1)+f''(a)/2!*(x-a)^2 [/mm] - wieso wird hier das h für die Ableitung eingesetzt und wieso für (x-a) die Ableitung selbst. An diesem Zusammenhang hänge ich...
b)
[mm] \begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3) \\ u_0=1 \end{cases}
[/mm]
Hierzu meine 1. Frage: Wieso wird hier die Taylorreihe verwendet und nicht die Anfangsformel? Und wieso wurde der 2. Teil also die 2. Ableitung, [mm] \bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2] [/mm] weg gelassen?
h=0.25
y(1.5) [mm] \approx u_2
[/mm]
[mm] u_1=1+1/4*(2+1)*(1+3)=4
[/mm]
[mm] u_2=4+1/4*(2*5/4+1)*7=10.125
[/mm]
Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert [mm] t_n=5/4 [/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm] u_2 [/mm] und wieso nach [mm] u_2 [/mm] Schluss ist, sollten hier nicht noch weitere Schritte folgen?
Dankesehr
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> gegeben:
>
> y'=(2t+1)*(y+3) [mm]t\in[1,T][/mm]
> y(1)=1
>
> gesucht:
> a) Schreiben Sie für dieses Beispiel die Taylorreihe der
> 2.Ordnung
> b) Nähern Sie sich y(1,5) mit dem eulerschen
> Polygonzug-Verfahren mit Schrittweite h=0.25
>
>
> Hallo alle zusammen
>
> a) Also eine Lösung habe ich vorgegeben, ich habe jedoch
> keinerlei Literatur gefunden um einen allgemeinen
> Lösungsweg zu finden bzw. verstehe hier keinen
> Zusammenhang zwischen Cauchy und Taylor:
>
> [mm]y=(2t+1)*(y+3)[/mm]
> [mm]y'=(2t+1)*(y+3)[/mm]
> [mm]y''=2*(y+3)+(2t+1)y'[/mm]
> [mm]y''=2*(y+3)+(2t+1)^2*(y+3)[/mm]
>
> Taylor II° Ordnung:
>
>
> [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3)+\bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2] \\ u_0=1 \end{cases}[/mm]
>
> Die allgemeine Taylorform ist ja
> [mm]f(a)+f'(a)/1!*(x-1)+f''(a)/2!*(x-a)^2[/mm] - wieso wird hier das
> h für die Ableitung eingesetzt und wieso für (x-a) die
> Ableitung selbst. An diesem Zusammenhang hänge ich...
Obige Formel basiert auf dieser allgemeinen Tylorformel.
In der obigen Formel wurde nur [mm]h:=x-a[/mm] gesetzt.
>
> b)
>
> [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3) \\ u_0=1 \end{cases}[/mm]
>
> Hierzu meine 1. Frage: Wieso wird hier die Taylorreihe
> verwendet und nicht die Anfangsformel? Und wieso wurde der
> 2. Teil also die 2. Ableitung,
> [mm]\bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2][/mm] weg gelassen?
Das Eulersche Polygonzug-Verfahren basiert auf der einfachen Ersetzung
des Diffentialquotienten durch den Differenzenquotienten.
>
> h=0.25
> y(1.5) [mm]\approx u_2[/mm]
> [mm]u_1=1+1/4*(2+1)*(1+3)=4[/mm]
> [mm]u_2=4+1/4*(2*5/4+1)*7=10.125[/mm]
>
> Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
[mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
> Schluss ist, sollten hier nicht noch weitere Schritte
> folgen?
>
Nein.
>
> Dankesehr
>
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > gegeben:
> >
> > y'=(2t+1)*(y+3) [mm]t\in[1,T][/mm]
> > y(1)=1
> >
> > gesucht:
> > a) Schreiben Sie für dieses Beispiel die Taylorreihe
> der
> > 2.Ordnung
> > b) Nähern Sie sich y(1,5) mit dem eulerschen
> > Polygonzug-Verfahren mit Schrittweite h=0.25
> >
> >
> > Hallo alle zusammen
> >
> > a) Also eine Lösung habe ich vorgegeben, ich habe jedoch
> > keinerlei Literatur gefunden um einen allgemeinen
> > Lösungsweg zu finden bzw. verstehe hier keinen
> > Zusammenhang zwischen Cauchy und Taylor:
> >
> > [mm]y=(2t+1)*(y+3)[/mm]
> > [mm]y'=(2t+1)*(y+3)[/mm]
> > [mm]y''=2*(y+3)+(2t+1)y'[/mm]
> > [mm]y''=2*(y+3)+(2t+1)^2*(y+3)[/mm]
> >
> > Taylor II° Ordnung:
> >
> >
> > [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3)+\bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2] \\ u_0=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Die allgemeine Taylorform ist ja
> > [mm]f(a)+f'(a)/1!*(x-1)+f''(a)/2!*(x-a)^2[/mm] - wieso wird hier das
> > h für die Ableitung eingesetzt und wieso für (x-a) die
> > Ableitung selbst. An diesem Zusammenhang hänge ich...
>
>
> Obige Formel basiert auf dieser allgemeinen Tylorformel.
> In der obigen Formel wurde nur [mm]h:=x-a[/mm] gesetzt.
>
>
> >
> > b)
> >
> > [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3) \\ u_0=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hierzu meine 1. Frage: Wieso wird hier die Taylorreihe
> > verwendet und nicht die Anfangsformel? Und wieso wurde der
> > 2. Teil also die 2. Ableitung,
> > [mm]\bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2][/mm] weg gelassen?
>
>
> Das Eulersche Polygonzug-Verfahren basiert auf der
> einfachen Ersetzung
> des Diffentialquotienten durch den Differenzenquotienten.
Das heißt konkret, dass der Taylor 2.,3.,4., usw. Ordnung IMMER (?) durch die 1. Ableitung, in diesem Fall den Taylor des 1. Grades ersetzt wird?
>
>
> >
> > h=0.25
> > y(1.5) [mm]\approx u_2[/mm]
> > [mm]u_1=1+1/4*(2+1)*(1+3)=4[/mm]
> > [mm]u_2=4+1/4*(2*5/4+1)*7=10.125[/mm]
> >
> > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
>
>
> Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
>
> [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
>
>
> > Schluss ist, sollten hier nicht noch weitere Schritte
> > folgen?
> >
>
>
> Nein.
Und wieso nicht? Mir geht aus dem Arbeitsauftrag bzw. der Lösung nicht hervor, dass [mm] y(1.5)=u_2 [/mm] sein sollte, wo kann ich das faststellen wieviel Schritte ich brauche?
Danke sehr
lg
Zuggel
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Hall Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > gegeben:
> > >
> > > y'=(2t+1)*(y+3) [mm]t\in[1,T][/mm]
> > > y(1)=1
> > >
> > > gesucht:
> > > a) Schreiben Sie für dieses Beispiel die
> Taylorreihe
> > der
> > > 2.Ordnung
> > > b) Nähern Sie sich y(1,5) mit dem eulerschen
> > > Polygonzug-Verfahren mit Schrittweite h=0.25
> > >
> > >
> > > Hallo alle zusammen
> > >
> > > a) Also eine Lösung habe ich vorgegeben, ich habe jedoch
> > > keinerlei Literatur gefunden um einen allgemeinen
> > > Lösungsweg zu finden bzw. verstehe hier keinen
> > > Zusammenhang zwischen Cauchy und Taylor:
> > >
> > > [mm]y=(2t+1)*(y+3)[/mm]
> > > [mm]y'=(2t+1)*(y+3)[/mm]
> > > [mm]y''=2*(y+3)+(2t+1)y'[/mm]
> > > [mm]y''=2*(y+3)+(2t+1)^2*(y+3)[/mm]
> > >
> > > Taylor II° Ordnung:
> > >
> > >
> > > [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3)+\bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2] \\ u_0=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Die allgemeine Taylorform ist ja
> > > [mm]f(a)+f'(a)/1!*(x-1)+f''(a)/2!*(x-a)^2[/mm] - wieso wird hier das
> > > h für die Ableitung eingesetzt und wieso für (x-a) die
> > > Ableitung selbst. An diesem Zusammenhang hänge ich...
> >
> >
> > Obige Formel basiert auf dieser allgemeinen Tylorformel.
> > In der obigen Formel wurde nur [mm]h:=x-a[/mm] gesetzt.
> >
> >
> > >
> > > b)
> > >
> > > [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h*(2*t_n+1)*(u_n+3) \\ u_0=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hierzu meine 1. Frage: Wieso wird hier die Taylorreihe
> > > verwendet und nicht die Anfangsformel? Und wieso wurde der
> > > 2. Teil also die 2. Ableitung,
> > > [mm]\bruch{h^2}{2}*(u_n+3)*[2+(2t_n+1)^2][/mm] weg gelassen?
> >
> >
> > Das Eulersche Polygonzug-Verfahren basiert auf der
> > einfachen Ersetzung
> > des Diffentialquotienten durch den
> Differenzenquotienten.
>
>
> Das heißt konkret, dass der Taylor 2.,3.,4., usw. Ordnung
> IMMER (?) durch die 1. Ableitung, in diesem Fall den Taylor
> des 1. Grades ersetzt wird?
>
Die Lösung [mm]u\left(t\right)[/mm] wird hier durch das Taylorpolynom ersten Grades ersetzt, und zwar unabhängig davon, was Teil a) ergeben hat.
>
> >
> >
> > >
> > > h=0.25
> > > y(1.5) [mm]\approx u_2[/mm]
> > > [mm]u_1=1+1/4*(2+1)*(1+3)=4[/mm]
> > > [mm]u_2=4+1/4*(2*5/4+1)*7=10.125[/mm]
> > >
> > > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
> >
> >
> > Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
> >
> > [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
> >
> >
> > > Schluss ist, sollten hier nicht noch weitere Schritte
> > > folgen?
> > >
> >
> >
> > Nein.
>
> Und wieso nicht? Mir geht aus dem Arbeitsauftrag bzw. der
> Lösung nicht hervor, dass [mm]y(1.5)=u_2[/mm] sein sollte, wo kann
> ich das faststellen wieviel Schritte ich brauche?
>
[mm]u_{n}[/mm] ist der Näherungswert an der Stelle [mm]t_{n}[/mm].
>
> Danke sehr
>
> lg
> Zuggel
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 29.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
> > > > h=0.25
> > > > y(1.5) [mm]\approx u_2[/mm]
> > > >
> [mm]u_1=1+1/4*(2+1)*(1+3)=4[/mm]
> > > > [mm]u_2=4+1/4*(2*5/4+1)*7=10.125[/mm]
> > > >
> > > > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > > > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
> > >
> > >
> > > Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
> > >
> > > [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
> > >
> > >
> > > > Schluss ist, sollten hier nicht noch weitere Schritte
> > > > folgen?
> > > >
> > >
> > >
> > > Nein.
> >
> > Und wieso nicht? Mir geht aus dem Arbeitsauftrag bzw. der
> > Lösung nicht hervor, dass [mm]y(1.5)=u_2[/mm] sein sollte, wo kann
> > ich das faststellen wieviel Schritte ich brauche?
> >
>
>
> [mm]u_{n}[/mm] ist der Näherungswert an der Stelle [mm]t_{n}[/mm].
Ja aber wir versuachen doch an y(1.5) heranzukommen und an [mm] u_2 [/mm] sind wir auf [mm] t_2=\bruch{5}{4}
[/mm]
[mm] t_3=5/4+1/4=6/4=1.5
[/mm]
[mm] u_3=...
[/mm]
Wieso rechnen wir diesen Schritt nicht mehr?
Danke sehr
lg
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Hallo Zuggel,
> > > > > h=0.25
> > > > > y(1.5) [mm]\approx u_2[/mm]
> > > > >
> > [mm]u_1=1+1/4*(2+1)*(1+3)=4[/mm]
> > > > > [mm]u_2=4+1/4*(2*5/4+1)*7=10.125[/mm]
> > > > >
> > > > > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > > > > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
> > > >
> > > > [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > > Schluss ist, sollten hier nicht noch weitere Schritte
> > > > > folgen?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Nein.
> > >
> > > Und wieso nicht? Mir geht aus dem Arbeitsauftrag bzw. der
> > > Lösung nicht hervor, dass [mm]y(1.5)=u_2[/mm] sein sollte, wo kann
> > > ich das faststellen wieviel Schritte ich brauche?
> > >
> >
> >
> > [mm]u_{n}[/mm] ist der Näherungswert an der Stelle [mm]t_{n}[/mm].
>
> Ja aber wir versuachen doch an y(1.5) heranzukommen und an
> [mm]u_2[/mm] sind wir auf [mm]t_2=\bruch{5}{4}[/mm]
> [mm]t_3=5/4+1/4=6/4=1.5[/mm]
Da hast Du etwas durcheinandergebracht.
Aufgrund der Rekursionsfomel
[mm]t_{n+1}=t_{n}+h, \ t_{0}=1[/mm]
ergibt sich hier
[mm]t_{3}=t_{2}+h=t_{1}+2*h=t_{0}+3*h=1.75[/mm]
> [mm]u_3=...[/mm]
> Wieso rechnen wir diesen Schritt nicht mehr?
[mm]u_{n}:=u\left(t_{n}\right)[/mm]
Der Wert [mm]u_{3}[/mm] entspricht dem Wert von u an der Stelle [mm]t_{3}=1.75[/mm]
>
> Danke sehr
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Do 01.10.2009 | | Autor: | Zuggel |
Ach du meine Güte
Jetzt habe ich verstanden.
Danke sehr
lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Zuggel |
> > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
>
>
> Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
>
> [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
>
Also nachdem ich den Thread nochmal durchgegangen bin, trotzdem noch eine Frage
Wir hatten Euler mit Schrittweite h=0.25 und Startwert [mm] u_0=y(t_0)=1 [/mm] wobei [mm] t_0=1:
[/mm]
[mm] u_{n+1}=u_n [/mm] + h [mm] *(2t_n+1)*(u_n+3)
[/mm]
mit Startwert [mm] u_0=1 [/mm] und [mm] t_0=1
[/mm]
Das kann doch nicht gehen, dass [mm] u_2= [/mm] y(1.5), denn:
[mm] t_1 [/mm] wird als 1 angenommen, wobei das der Wert von [mm] t_0 [/mm] ist. Aber ok, nehmen wir [mm] t_1=1, [/mm] somit:
[mm] t_1=1 [/mm] und [mm] u_0=1
[/mm]
[mm] u_1=u_0+0.25*[(2*1+1)*(1+3)]=1+3=4
[/mm]
aber dann:
[mm] t_2=t_1+h [/mm] => 1+0.25 = 1.25
[mm] u_2=u_1+0.25*[(2*1.25+1)*(4+3)]=10.125
[/mm]
Laut Lösung immer noch korrekt.
Wieso kann man dann sagen, dass [mm] u_2=y(1.5) [/mm] ist, wenn für [mm] u_2 [/mm] in der Lösung und auch laut meinem Lösungsweg der Wert für [mm] t_2=1.25 [/mm] ist und nicht 1.5?
Ich bitte um Hilfe
Danke sehr
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
> >
> >
> > Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
> >
> > [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
> >
>
>
> Also nachdem ich den Thread nochmal durchgegangen bin,
> trotzdem noch eine Frage
>
> Wir hatten Euler mit Schrittweite h=0.25 und Startwert
> [mm]u_0=y(t_0)=1[/mm] wobei [mm]t_0=1:[/mm]
>
> [mm]u_{n+1}=u_n[/mm] + h [mm]*(2t_n+1)*(u_n+3)[/mm]
>
> mit Startwert [mm]u_0=1[/mm] und [mm]t_0=1[/mm]
>
> Das kann doch nicht gehen, dass [mm]u_2=[/mm] y(1.5), denn:
>
> [mm]t_1[/mm] wird als 1 angenommen, wobei das der Wert von [mm]t_0[/mm] ist.
> Aber ok, nehmen wir [mm]t_1=1,[/mm] somit:
> [mm]t_1=1[/mm] und [mm]u_0=1[/mm]
> [mm]u_1=u_0+0.25*[(2*1+1)*(1+3)]=1+3=4[/mm]
>
> aber dann:
> [mm]t_2=t_1+h[/mm] => 1+0.25 = 1.25
> [mm]u_2=u_1+0.25*[(2*1.25+1)*(4+3)]=10.125[/mm]
>
> Laut Lösung immer noch korrekt.
>
> Wieso kann man dann sagen, dass [mm]u_2=y(1.5)[/mm] ist, wenn für
> [mm]u_2[/mm] in der Lösung und auch laut meinem Lösungsweg der
> Wert für [mm]t_2=1.25[/mm] ist und nicht 1.5?
>
Nach der Terminologie [mm]u_{n}=u\left(t_{n}\right)[/mm]
gehört zu [mm]u_{2}[/mm] die Zeit [mm]t_{2}[/mm].
Für die Berechnung von [mm]u_{2}[/mm] wird
jedoch [mm]t_{2}[/mm] nicht benötigt.
Offenbar wurde in der Lösung eine andere
Formel verwendet, als hier erarbeitet wurde.
Hier wurde diese Formel verwendet:
[mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_n+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n}=t_{n-1}+h \\ t_{0}=1 \end{cases}[/mm]
In der Lösung wurde jedoch diese Formel verwendet:
[mm] \begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_{n+1}+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n+1}=t_{n}+h \\ t_{1}=1 \end{cases}[/mm]
>
> Ich bitte um Hilfe
>
> Danke sehr
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 17.11.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > > > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > > > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
> > >
> > >
> > > Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
> > >
> > > [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
> > >
> >
> >
> > Also nachdem ich den Thread nochmal durchgegangen bin,
> > trotzdem noch eine Frage
> >
> > Wir hatten Euler mit Schrittweite h=0.25 und Startwert
> > [mm]u_0=y(t_0)=1[/mm] wobei [mm]t_0=1:[/mm]
> >
> > [mm]u_{n+1}=u_n[/mm] + h [mm]*(2t_n+1)*(u_n+3)[/mm]
> >
> > mit Startwert [mm]u_0=1[/mm] und [mm]t_0=1[/mm]
> >
> > Das kann doch nicht gehen, dass [mm]u_2=[/mm] y(1.5), denn:
> >
> > [mm]t_1[/mm] wird als 1 angenommen, wobei das der Wert von [mm]t_0[/mm] ist.
> > Aber ok, nehmen wir [mm]t_1=1,[/mm] somit:
> > [mm]t_1=1[/mm] und [mm]u_0=1[/mm]
> > [mm]u_1=u_0+0.25*[(2*1+1)*(1+3)]=1+3=4[/mm]
> >
> > aber dann:
> > [mm]t_2=t_1+h[/mm] => 1+0.25 = 1.25
> > [mm]u_2=u_1+0.25*[(2*1.25+1)*(4+3)]=10.125[/mm]
> >
> > Laut Lösung immer noch korrekt.
> >
> > Wieso kann man dann sagen, dass [mm]u_2=y(1.5)[/mm] ist, wenn für
> > [mm]u_2[/mm] in der Lösung und auch laut meinem Lösungsweg der
> > Wert für [mm]t_2=1.25[/mm] ist und nicht 1.5?
> >
>
>
> Nach der Terminologie [mm]u_{n}=u\left(t_{n}\right)[/mm]
> gehört zu [mm]u_{2}[/mm] die Zeit [mm]t_{2}[/mm].
>
> Für die Berechnung von [mm]u_{2}[/mm] wird
> jedoch [mm]t_{2}[/mm] nicht benötigt.
>
> Offenbar wurde in der Lösung eine andere
> Formel verwendet, als hier erarbeitet wurde.
>
> Hier wurde diese Formel verwendet:
>
> [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_n+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n}=t_{n-1}+h \\ t_{0}=1 \end{cases}[/mm]
>
> In der Lösung wurde jedoch diese Formel verwendet:
>
> [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_{n+1}+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n+1}=t_{n}+h \\ t_{1}=1 \end{cases}[/mm]
>
Ok also als kurzen Überblick:
Es ist bei BEIDEN Methoden so, dass ich für [mm] u_2 [/mm] die Zeit [mm] t_2 [/mm] habe, also sozusagen [mm] t_2=1.5
[/mm]
Wie ich dann ran komme ist bei beiden Methoden gleich.
Du hast geschrieben, für die Lösung würde h mit einer Funktion [mm] f(t_{n+1}...) [/mm] mulitpliziert werden, in meinen Unterlagen habe ich jedoch folgendes gefunden:
[mm] u_{n+1} [/mm] = [mm] u_n [/mm] + h*f [mm] (t_n, u_n) [/mm] n = 0, . . . ,N − 1
[mm] u_0 [/mm] = [mm] y_0
[/mm]
Wäre damit also unter Lösungweg gemeint mit:
[mm] \begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_n+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n}=t_{n-1}+h \\ t_{0}=1 \end{cases}
[/mm]
Oder?
lg
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Hallo Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > > > Soweit soklar, ich frage mich nur wie man auf den wert
> > > > > [mm]t_n=5/4[/mm] kommt, bei der Rechnung für [mm]u_2[/mm] und wieso nach [mm]u_2[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Es gilt [mm]t_{n+1}=t_{n}+h[/mm], hier also [mm]t_{1}=t_{0}+h[/mm].
> > > >
> > > > [mm]u_{2}[/mm] ist hier Wert an der Stelle [mm]t_{2}=1,5[/mm]
> > > >
> > >
> > >
> > > Also nachdem ich den Thread nochmal durchgegangen bin,
> > > trotzdem noch eine Frage
> > >
> > > Wir hatten Euler mit Schrittweite h=0.25 und Startwert
> > > [mm]u_0=y(t_0)=1[/mm] wobei [mm]t_0=1:[/mm]
> > >
> > > [mm]u_{n+1}=u_n[/mm] + h [mm]*(2t_n+1)*(u_n+3)[/mm]
> > >
> > > mit Startwert [mm]u_0=1[/mm] und [mm]t_0=1[/mm]
> > >
> > > Das kann doch nicht gehen, dass [mm]u_2=[/mm] y(1.5), denn:
> > >
> > > [mm]t_1[/mm] wird als 1 angenommen, wobei das der Wert von [mm]t_0[/mm] ist.
> > > Aber ok, nehmen wir [mm]t_1=1,[/mm] somit:
> > > [mm]t_1=1[/mm] und [mm]u_0=1[/mm]
> > > [mm]u_1=u_0+0.25*[(2*1+1)*(1+3)]=1+3=4[/mm]
> > >
> > > aber dann:
> > > [mm]t_2=t_1+h[/mm] => 1+0.25 = 1.25
> > > [mm]u_2=u_1+0.25*[(2*1.25+1)*(4+3)]=10.125[/mm]
> > >
> > > Laut Lösung immer noch korrekt.
> > >
> > > Wieso kann man dann sagen, dass [mm]u_2=y(1.5)[/mm] ist, wenn für
> > > [mm]u_2[/mm] in der Lösung und auch laut meinem Lösungsweg der
> > > Wert für [mm]t_2=1.25[/mm] ist und nicht 1.5?
> > >
> >
> >
> > Nach der Terminologie [mm]u_{n}=u\left(t_{n}\right)[/mm]
> > gehört zu [mm]u_{2}[/mm] die Zeit [mm]t_{2}[/mm].
> >
> > Für die Berechnung von [mm]u_{2}[/mm] wird
> > jedoch [mm]t_{2}[/mm] nicht benötigt.
> >
> > Offenbar wurde in der Lösung eine andere
> > Formel verwendet, als hier erarbeitet wurde.
> >
> > Hier wurde diese Formel verwendet:
> >
> > [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_n+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n}=t_{n-1}+h \\ t_{0}=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > In der Lösung wurde jedoch diese Formel verwendet:
> >
> > [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_{n+1}+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n+1}=t_{n}+h \\ t_{1}=1 \end{cases}[/mm]
>
> >
>
>
> Ok also als kurzen Überblick:
>
> Es ist bei BEIDEN Methoden so, dass ich für [mm]u_2[/mm] die Zeit
> [mm]t_2[/mm] habe, also sozusagen [mm]t_2=1.5[/mm]
>
> Wie ich dann ran komme ist bei beiden Methoden gleich.
>
>
> Du hast geschrieben, für die Lösung würde h mit einer
> Funktion [mm]f(t_{n+1}...)[/mm] mulitpliziert werden, in meinen
> Unterlagen habe ich jedoch folgendes gefunden:
>
>
>
> [mm]u_{n+1}[/mm] = [mm]u_n[/mm] + h*f [mm](t_n, u_n)[/mm] n = 0, . . . ,N − 1
> [mm]u_0[/mm] = [mm]y_0[/mm]
>
>
>
> Wäre damit also unter Lösungweg gemeint mit:
>
> [mm]\begin{cases} u_{n+1}=u_n+h\cdot{}(2\cdot{}t_n+1)\cdot{}(u_n+3) \\ u_0=1 \\ t_{n}=t_{n-1}+h \\ t_{0}=1 \end{cases}[/mm]
>
> Oder?
>
Ja, das ist richtig.
> lg
Gruss
MathePower
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