Cauchy,Rekursion,Iteration < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 19.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass für ein festes q [mm] \in \IR [/mm] mit 0<q<1 gilt:
[mm] |a_{n+1}-a_n| \le [/mm] q * [mm] |a_n -a_{n-1}|,(n\ge [/mm] 1)
Zeigen die mit Hilfe des Konvegenzprinzipes von Cauchy, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist. Lässt sich die Konvergenz auch beweisen, wenn q=1 gilt? |
Hallo zusammmen,
Ich hab die Aufgabe sogut wie erledigt nur paar Feinheiten, wo ich Zweifel habe.
Sei [mm] \epsilon>0, [/mm] O.B.d.A. n >m
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] = [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-2}+..+|a_{m+2}-a_{m+1}|+|a_{m+1} [/mm] - [mm] a_m| [/mm]
[mm] \le [/mm] q [mm] |a_{n-1}-a_{n-2}| [/mm] + [mm] q|a_{n-2} -a_{n-3}|+...+q|a_{m+1}-a_m|+q|a_m-a_{m-1}| \le |a_m -a_{m-1}|*(q+q^2+..+q^{n-m-1}+q^{n-m}) \le q^{m-1} |a_0-a_1| \sum_{i=1}^{n-m} q^i [/mm]
= [mm] q^{m-1} |a_0 [/mm] - [mm] a_1| [/mm] *( [mm] \frac{1-q^{n-m+1}}{1-q}-1) \le q^{m-1} |a_0-a_1| [/mm] * [mm] (\frac{1}{1-q}-1)
[/mm]
[mm] =q^{m-1} |a_0-a_1| \frac{q}{1-q} \le |a_0-a_1| [/mm] * [mm] \frac{q^m}{1-q} [/mm] < [mm] |a_0-a_1| [/mm] * [mm] \frac{\epsilon}{1-q} [/mm]
Am Schluss stehen ja nur konstanten, die ich doch so stehen lassen darf oder?
Wie muss ich nun N wählen sodass für m,n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_{m}-a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon'?
[/mm]
Die Eigenschaft [mm] |a_{n+1}-a_n| \le [/mm] q * [mm] |a_n -a_{n-1}| [/mm] gilt für jedes n [mm] \ge [/mm] 1,
Es existiert ein Index [mm] N_1 sodass:\forall k\ge N_1 q^k [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] da 0<q<1
Also wähle ich [mm] N:=N_1
[/mm]
Ist q=1, dann erhalten wir:
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m [/mm] | [mm] \le q^{m-1} |a_0-a_1| \sum_{i=1}^{n-m} q^i [/mm] = [mm] |a_0-a_1| \sum_{i=1}^{n-m} [/mm] 1 = [mm] |a_0 -a_1| [/mm] (n-m)
Hier erziehlt man kein Resultat. Aber kann man anders Divergenz/Konvergenz zeigen bei q=1?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Es sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass für ein
> festes q [mm]\in \IR[/mm] mit 0<q<1 gilt:
> [mm]|a_{n+1}-a_n| \le[/mm] q * [mm]|a_n -a_{n-1}|,(n\ge[/mm] 1)
> Zeigen die mit Hilfe des Konvegenzprinzipes von Cauchy,
> dass [mm](a_n)[/mm] konvergent ist. Lässt sich die Konvergenz auch
> beweisen, wenn q=1 gilt?
> Hallo zusammmen,
> Ich hab die Aufgabe sogut wie erledigt nur paar
> Feinheiten, wo ich Zweifel habe.
>
> Sei [mm]\epsilon>0,[/mm] O.B.d.A. n >m
> [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_m|[/mm] = [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_{n-1}[/mm] +
> [mm]a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-2}+..+|a_{m+2}-a_{m+1}|+|a_{m+1}[/mm] -
> [mm]a_m|[/mm]
entweder machst Du rechts erstmal nur einen Betrag um alles, oder Du
machst aus dem = ein [mm] $\le$
[/mm]
> [mm]\le[/mm] q [mm]|a_{n-1}-a_{n-2}|[/mm] + [mm]q|a_{n-2} -a_{n-3}|+...+q|a_{m+1}-a_m|+q|a_m-a_{m-1}| \le |a_m -a_{m-1}|*(q+q^2+..+q^{n-m-1}+q^{n-m}) \le q^{m-1} |a_0-a_1| \sum_{i=1}^{n-m} q^i[/mm]
> = [mm]q^{m-1} |a_0[/mm] - [mm]a_1|[/mm] *( [mm]\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q}-1) \le q^{m-1} |a_0-a_1|[/mm]
> * [mm](\frac{1}{1-q}-1)[/mm]
> [mm]=q^{m-1} |a_0-a_1| \frac{q}{1-q} \le |a_0-a_1|[/mm] * [mm]\frac{q^m}{1-q} \red{\;<\, |a_0-a_1|* \frac{\epsilon}{1-q}}[/mm]
Streiche die rote Abschätzung - sie wird zu grob! Die davor ist brauchbar!
Ich bin jetzt ehrlich gesagt ein wenig zu faul, mir Details anzugucken. Ich
schreib's mal auf, wie ich es bspw. machen würde, da wird es sicher die
ein oder andere Abweichung von Deiner Rechnung geben:
Für alle $n > m [mm] \ge [/mm] 2$ gilt
[mm] $|a_n-a_m|=\left|\sum_{k=m+1}^n (a_k-a_{k-1})\right| \le \sum_{k=m+1}^n |a_k-a_{k-1}|\le |a_{m+1}-a_m|*\sum_{k=1}^{n-m} q^{k-1}\le |a_{m+1}-a_m| *\frac{1}{1-q}\,.$
[/mm]
Weiter ist für $m [mm] \ge [/mm] 1$
[mm] $|a_{m+1}-a_m| \le q^m*|a_1-a_0|\,.$
[/mm]
Denn: Induktion: Für [mm] $m=1\,$ [/mm] gilt
[mm] $|a_2-a_1| \le q*|a_1-a_0|\,.$
[/mm]
$m [mm] \longrightarrow [/mm] m+1:$
[mm] $|a_{m+2}-a_{m+1}| \le q*|a_{m+1}-a_m|$
[/mm]
gilt nach der vorausgesetzten Eigenschaft und mit der I.V. folgt
[mm] $|a_{m+2}-a_{m+1}| \le q*|a_{m+1}-a_m| \le q*q^{m}*|a_1-a_0|=q^{m+1}*|a_1-a_0|\,.$
[/mm]
Also insgesamt
[mm] $|a_n-a_m| \le |a_{m+1}-a_m| *\frac{1}{1-q} \le q^m*\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\,.$
[/mm]
Jedenfalls, da ich die gleiche Abschätzung habe wie Du an der Stelle, bevor
ich etwas rotmarkiert habe, sieht es schon so aus, dass Du da keine
wesentlichen Rechenfehler gemacht hast. Vielleicht mag aber jmd. anderes
da auch noch detailliert(er) drübergucken....?!
> Am Schluss stehen ja nur konstanten, die ich doch so stehen
> lassen darf oder?
>
> Wie muss ich nun N wählen sodass für m,n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]|a_{m}-a_{n}|[/mm] < [mm]\epsilon'?[/mm]
Warum nicht? Glaubst Du, sie laufen weg? 
Zur Cauchyfolgeneigenschaft: Zu zeigen ist ja, dass, wenn [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vorgegeben wird,
dann ein [mm] $N=N_{\epsilon}$ [/mm] existiert mit
[mm] $|a_n-a_m| [/mm] < [mm] \epsilon\,$ [/mm] für alle $n,m [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Sei also [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann existiert wegen
[mm] $q^m*\frac{|a_1-a_0|}{1-q} \to [/mm] 0$ ($m [mm] \to \infty$; [/mm] beachte $|q| < [mm] 1\,$!) [/mm]
ein [mm] $M\,$ [/mm] mit
[mm] $|q^m*\frac{|a_1-a_0|}{1-q}| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $m [mm] \ge M\,.$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge [/mm] m [mm] \ge [/mm] M$ folgt nach obiger Rechnung
[mm] $|a_n-a_m| \le q^m *\frac{|a_1-a_0|}{1-q} [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Also: Wähle [mm] $N:=M\,.$
[/mm]
> Die Eigenschaft [mm]|a_{n+1}-a_n| \le[/mm] q * [mm]|a_n -a_{n-1}|[/mm] gilt
> für jedes n [mm]\ge[/mm] 1,
> Es existiert ein Index [mm]N_1 sodass:\forall k\ge N_1 q^k[/mm] <
> [mm]\epsilon[/mm] da 0<q<1
> Also wähle ich [mm]N:=N_1[/mm]
>
> Ist q=1, dann erhalten wir:
> [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_m[/mm] | [mm]\le q^{m-1} |a_0-a_1| \sum_{i=1}^{n-m} q^i[/mm]
> = [mm]|a_0-a_1| \sum_{i=1}^{n-m}[/mm] 1 = [mm]|a_0 -a_1|[/mm] (n-m)
> Hier erziehlt man kein Resultat. Aber kann man anders
> Divergenz/Konvergenz zeigen bei q=1?
Du kannst doch direkt ein Gegenbeispiel hinschreiben:
[mm] $a_n:=n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
Hier ist
[mm] $|a_1-a_0|=1-0=1\,.$
[/mm]
[mm] $|a_2-a_1|=2-1=1$ [/mm] und [mm] $|a_2-a_1|$ [/mm] erfüllt in der Tat
[mm] $|a_2-a_1|=1 \le 1*|a_1-a_0|=1*1=1\,.$
[/mm]
Also? (Fazit: Dass die Abschätzungsmethode so nicht funktionierte, deutet
schonmal drauf hin, dass man da wohl eher nicht Konvergenz beweisen
kann. Es ist aber kein Beweis dafür, dass das vielleicht nicht doch gegangen
wäre, denn niemand sagt, dass Deine Abschätzungen *so gut wie
optimal* waren. Aber obiges Beispiel zeigt, dass man im Falle [mm] $q=1\,$ [/mm] im Allgemeinen
keine Aussage über Konvergenz/Divergenz treffen kann!
Beachte: Wenn mit einem $0 [mm] \le [/mm] q < 1$
[mm] $|a_{n+1}-a_n| \le q*|a_{n}-a_{n-1}|$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 1\,,$
[/mm]
dann gilt auch
[mm] $|a_{n+1}-a_n| \le |a_n-a_{n-1}|$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 1\,.$)
[/mm]
P.S. Man könnte auch den Fall [mm] $q=0\,$ [/mm] oben mit einbeziehen. Dann wäre
zwar [mm] $a_1 \not=a_0$ [/mm] möglich, aber für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$ wäre
[mm] $a_n=a_1\,.$
[/mm]
Die Folge wäre also "extrem gut konstant" (aber nicht notwendig ganz
konstant!).
Gruß,
Marcel
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