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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Cauchyfolge
Cauchyfolge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cauchyfolge: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:18 Di 05.08.2014
Autor: Calculu

Aufgabe
a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge [mm] (x_n_k) [/mm] von [mm] (x_n), [/mm] die gegen x [mm] \in [/mm] X konvergiert, so idt [mm] (x_n) [/mm] konvergent und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = x.

b) Seien (X,d) und [mm] (Y,\partial) [/mm] metrische Räume und sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: Für jede Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] X, für die [mm] \overline{M} [/mm] kompakt ist, gilt:
[mm] f(\overline{M}) [/mm] = [mm] \overline{f(M)} [/mm]

Also zu der b) habe ich mir überlegt:
Ich nehme ein x [mm] \in \overline{M}. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] x_n \in [/mm] M deren Grenzwert in [mm] \overline{M} [/mm] liegt. Da f stetig ist, gilt [mm] f(x_n) \to [/mm] f(x) [mm] \subset [/mm] f(M) [mm] \subset \overline{f(M)}. [/mm] Wenn ich nun noch zeigen kann, dass [mm] \overline{f(M)} \subset f(\overline{M}) [/mm] habe ich die Gleichheit gezeigt, aber gerade das fällt mich schwer.

        
Bezug
Cauchyfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Di 05.08.2014
Autor: fred97


> a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine
> Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge
> [mm](x_n_k)[/mm] von [mm](x_n),[/mm] die gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, so idt
> [mm](x_n)[/mm] konvergent und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> = x.
>  
> b) Seien (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und sei f:
> X [mm]\to[/mm] Y eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: Für jede
> Teilmenge M [mm]\subseteq[/mm] X, für die [mm]\overline{M}[/mm] kompakt ist,
> gilt:
>  [mm]f(\overline{M})[/mm] = [mm]\overline{f(M)}[/mm]
>  Also zu der b) habe ich mir überlegt:
>  Ich nehme ein x [mm]\in \overline{M}.[/mm] Dann gibt es eine Folge
> [mm]x_n \in[/mm] M deren Grenzwert in [mm]\overline{M}[/mm] liegt. Da f
> stetig ist, gilt [mm]f(x_n) \to[/mm] f(x) [mm]\subset[/mm] f(M) [mm]\subset \overline{f(M)}.[/mm]
> Wenn ich nun noch zeigen kann, dass [mm]\overline{f(M)} \subset f(\overline{M})[/mm]
> habe ich die Gleichheit gezeigt, aber gerade das fällt
> mich schwer.


Tja, man sollte schon alle Voraussetzungen verbraten !

[mm] \overline{M} [/mm] ist kompakt. Da f stetig ist, ist auch [mm] f(\overline{M}) [/mm] kompakt und damit auch abgeschlossen !

Hilft das ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Cauchyfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Di 05.08.2014
Autor: Calculu


> > a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine
> > Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge
> > [mm](x_n_k)[/mm] von [mm](x_n),[/mm] die gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, so idt
> > [mm](x_n)[/mm] konvergent und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > = x.
>  >  
> > b) Seien (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und sei f:
> > X [mm]\to[/mm] Y eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: Für jede
> > Teilmenge M [mm]\subseteq[/mm] X, für die [mm]\overline{M}[/mm] kompakt ist,
> > gilt:
>  >  [mm]f(\overline{M})[/mm] = [mm]\overline{f(M)}[/mm]
>  >  Also zu der b) habe ich mir überlegt:
>  >  Ich nehme ein x [mm]\in \overline{M}.[/mm] Dann gibt es eine
> Folge
> > [mm]x_n \in[/mm] M deren Grenzwert in [mm]\overline{M}[/mm] liegt. Da f
> > stetig ist, gilt [mm]f(x_n) \to[/mm] f(x) [mm]\subset[/mm] f(M) [mm]\subset \overline{f(M)}.[/mm]
> > Wenn ich nun noch zeigen kann, dass [mm]\overline{f(M)} \subset f(\overline{M})[/mm]
> > habe ich die Gleichheit gezeigt, aber gerade das fällt
> > mich schwer.
>
>
> Tja, man sollte schon alle Voraussetzungen verbraten !
>  
> [mm]\overline{M}[/mm] ist kompakt. Da f stetig ist, ist auch
> [mm]f(\overline{M})[/mm] kompakt und damit auch abgeschlossen !
>  
> Hilft das ?

Hm, ich weiß nicht. Also wenn [mm] f(\overline{M}) [/mm] abgeschlossen ist, muss ja [mm] f(\overline{M}) [/mm] = [mm] \overline{f(M)} [/mm] sein. Aber wie kann ich das in meinen Beweis einbauen. Bzw, kann ich es so einbauen, dass ich direkt Gleichheit zeigen kann.

>  
> FRED


Bezug
                        
Bezug
Cauchyfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Di 05.08.2014
Autor: fred97


> > > a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine
> > > Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge
> > > [mm](x_n_k)[/mm] von [mm](x_n),[/mm] die gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, so idt
> > > [mm](x_n)[/mm] konvergent und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > > = x.
>  >  >  
> > > b) Seien (X,d) und [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und sei f:
> > > X [mm]\to[/mm] Y eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: Für jede
> > > Teilmenge M [mm]\subseteq[/mm] X, für die [mm]\overline{M}[/mm] kompakt ist,
> > > gilt:
>  >  >  [mm]f(\overline{M})[/mm] = [mm]\overline{f(M)}[/mm]
>  >  >  Also zu der b) habe ich mir überlegt:
>  >  >  Ich nehme ein x [mm]\in \overline{M}.[/mm] Dann gibt es eine
> > Folge
> > > [mm]x_n \in[/mm] M deren Grenzwert in [mm]\overline{M}[/mm] liegt. Da f
> > > stetig ist, gilt [mm]f(x_n) \to[/mm] f(x) [mm]\subset[/mm] f(M) [mm]\subset \overline{f(M)}.[/mm]
> > > Wenn ich nun noch zeigen kann, dass [mm]\overline{f(M)} \subset f(\overline{M})[/mm]
> > > habe ich die Gleichheit gezeigt, aber gerade das fällt
> > > mich schwer.
> >
> >
> > Tja, man sollte schon alle Voraussetzungen verbraten !
>  >  
> > [mm]\overline{M}[/mm] ist kompakt. Da f stetig ist, ist auch
> > [mm]f(\overline{M})[/mm] kompakt und damit auch abgeschlossen !
>  >  
> > Hilft das ?
>  Hm, ich weiß nicht. Also wenn [mm]f(\overline{M})[/mm]
> abgeschlossen ist, muss ja [mm]f(\overline{M})[/mm] =
> [mm]\overline{f(M)}[/mm] sein. Aber wie kann ich das in meinen
> Beweis einbauen. Bzw, kann ich es so einbauen, dass ich
> direkt Gleichheit zeigen kann.

Mann, ist das mühsam !

1. [mm] f(\overline{M}) [/mm] ist abgeschlossen.

2. $f(M) [mm] \subseteq f(\overline{M})$ [/mm]

Aus 2. folgt

    [mm] $\overline{f(M)} \subseteq \overline{ f(\overline{M})}$ [/mm]

Mit 1. liefert dies

    [mm] $\overline{f(M)} \subseteq \overline{ f(\overline{M})}=f(\overline{M})$ [/mm]


Dass [mm] f(\overline{M}) \subseteq \overline{f(M)} [/mm] ist hast Du oben schon selbst gezeigt.

FRED

>  >  
> > FRED
>  


Bezug
        
Bezug
Cauchyfolge: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Di 05.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine
> Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge
> [mm](x_n_k)[/mm] von [mm](x_n),[/mm] die gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, so idt
> [mm](x_n)[/mm] konvergent und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> = x.

Tipp: Ist [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] konvergent gegen [mm] $x\,,$ [/mm] so gilt

    [mm] $d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)\,.$ [/mm]

Bedenke nun, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] Cauchy ist, um eine Aussage über [mm] $d(x_n,x_{n_k})$ [/mm] zu erzielen...
beachte dabei [mm] $n_k \ge k\,.$ [/mm] (Und dass [mm] $d(x_{x_k},x) \to [/mm] 0$ bei $k [mm] \to \infty\,,$ [/mm] ist klar).

Weiterer Hinweis: Führe einen Beweis mit der Epsilontechnik: Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gibt
es ein [mm] $k_0$ [/mm] mit [mm] $d(x_{n_k},x) [/mm] < [mm] \epsilon/2$ [/mm] für alle $k [mm] \ge k_0\,,$ [/mm] weil...?

Ferner: [mm] $(x_n)$ [/mm] ist Cauchy, also gibt es ein [mm] $n_0$ [/mm] mit

    [mm] $\forall [/mm] n,m [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $d(x_{n},x_m) [/mm] < [mm] \epsilon/2\,.$ [/mm]

Sei [mm] $N_0:=\max\{n_0,\;k_0\}\,.$ [/mm] Für alle $n [mm] \ge N_0$ [/mm] folgt dann: (Sogar für alle,
aber insbesondere für ein) $k [mm] \ge N_0$ [/mm] ist

    [mm] $d(x_n,x_{n_k}) [/mm] < ...,$ weil $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und [mm] $n_k \ge [/mm] k [mm] \ge N_0 \ge n_0$ [/mm]

und wegen $k [mm] \ge N_0 \ge k_0$ [/mm] ist

    [mm] $d(x_{n_k},x) [/mm] < [mm] ...\,,$ [/mm]

also

    [mm] $d(x_n,x) [/mm] < ... +  ...=...$

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Cauchyfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Di 05.08.2014
Autor: Calculu


> Hallo,
>  
> > a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine
> > Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge
> > [mm](x_n_k)[/mm] von [mm](x_n),[/mm] die gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, so idt
> > [mm](x_n)[/mm] konvergent und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > = x.
>  
> Tipp: Ist [mm](x_{n_k})_k[/mm] konvergent gegen [mm]x\,,[/mm] so gilt
>  
> [mm]d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)\,.[/mm]
>  
> Bedenke nun, dass [mm](x_n)[/mm] Cauchy ist, um eine Aussage über
> [mm]d(x_n,x_{n_k})[/mm] zu erzielen...
> beachte dabei [mm]n_k \ge k\,.[/mm] (Und dass [mm]d(x_{x_k},x) \to 0[/mm] bei
> [mm]k \to \infty\,,[/mm] ist klar).

Da [mm] x_{n} [/mm] cauchy ist, konvergiert [mm] x_{n_k} [/mm] gegen [mm] x_{n} [/mm] für k [mm] \to \infty. [/mm] Also steht da: [mm] d(x_{n},x) \le [/mm] 0, somit [mm] d(x_{n},x) [/mm] =0. Also konvergiert [mm] x_{n} [/mm] gegen x.

>  
> Weiterer Hinweis: Führe einen Beweis mit der
> Epsilontechnik: Sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann gibt
> es ein [mm]k_0[/mm] mit [mm]d(x_{n_k},x) < \epsilon/2[/mm] für alle [mm]k \ge k_0\,,[/mm]
> weil...?
>  
> Ferner: [mm](x_n)[/mm] ist Cauchy, also gibt es ein [mm]n_0[/mm] mit
>
> [mm]\forall n,m \ge n_0[/mm] gilt [mm]d(x_{n},x_m) < \epsilon/2\,.[/mm]
>  
> Sei [mm]N_0:=\max\{n_0,\;k_0\}\,.[/mm] Für alle [mm]n \ge N_0[/mm] folgt
> dann: (Sogar für alle,
>  aber insbesondere für ein) [mm]k \ge N_0[/mm] ist
>  
> [mm]d(x_n,x_{n_k}) < ...,[/mm] weil [mm]n \ge n_0[/mm] und [mm]n_k \ge k \ge N_0 \ge n_0[/mm]
>  
> und wegen [mm]k \ge N_0 \ge k_0[/mm] ist
>  
> [mm]d(x_{n_k},x) < ...\,,[/mm]
>  
> also
>  
> [mm]d(x_n,x) < ... + ...=...[/mm]
>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
                        
Bezug
Cauchyfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Di 05.08.2014
Autor: fred97


> > Hallo,
>  >  
> > > a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine
> > > Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge
> > > [mm](x_n_k)[/mm] von [mm](x_n),[/mm] die gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, so idt
> > > [mm](x_n)[/mm] konvergent und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > > = x.
>  >  
> > Tipp: Ist [mm](x_{n_k})_k[/mm] konvergent gegen [mm]x\,,[/mm] so gilt
>  >  
> > [mm]d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)\,.[/mm]
>  >  
> > Bedenke nun, dass [mm](x_n)[/mm] Cauchy ist, um eine Aussage über
> > [mm]d(x_n,x_{n_k})[/mm] zu erzielen...
> > beachte dabei [mm]n_k \ge k\,.[/mm] (Und dass [mm]d(x_{x_k},x) \to 0[/mm] bei
> > [mm]k \to \infty\,,[/mm] ist klar).
>  
> Da [mm]x_{n}[/mm] cauchy ist, konvergiert [mm]x_{n_k}[/mm] gegen [mm]x_{n}[/mm] für k
> [mm]\to \infty.[/mm]



Das ist völliger Unsinn !


> Also steht da: [mm]d(x_{n},x) \le[/mm] 0,



Nein, das steht da nicht !


FRED



> somit
> [mm]d(x_{n},x)[/mm] =0. Also konvergiert [mm]x_{n}[/mm] gegen x.
>  >  
> > Weiterer Hinweis: Führe einen Beweis mit der
> > Epsilontechnik: Sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann gibt
> > es ein [mm]k_0[/mm] mit [mm]d(x_{n_k},x) < \epsilon/2[/mm] für alle [mm]k \ge k_0\,,[/mm]
> > weil...?
>  >  
> > Ferner: [mm](x_n)[/mm] ist Cauchy, also gibt es ein [mm]n_0[/mm] mit
> >
> > [mm]\forall n,m \ge n_0[/mm] gilt [mm]d(x_{n},x_m) < \epsilon/2\,.[/mm]
>  >  
> > Sei [mm]N_0:=\max\{n_0,\;k_0\}\,.[/mm] Für alle [mm]n \ge N_0[/mm] folgt
> > dann: (Sogar für alle,
>  >  aber insbesondere für ein) [mm]k \ge N_0[/mm] ist
>  >  
> > [mm]d(x_n,x_{n_k}) < ...,[/mm] weil [mm]n \ge n_0[/mm] und [mm]n_k \ge k \ge N_0 \ge n_0[/mm]
>  
> >  

> > und wegen [mm]k \ge N_0 \ge k_0[/mm] ist
>  >  
> > [mm]d(x_{n_k},x) < ...\,,[/mm]
>  >  
> > also
>  >  
> > [mm]d(x_n,x) < ... + ...=...[/mm]
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel
>  


Bezug
                        
Bezug
Cauchyfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Di 05.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > > a) Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine
> > > Cauchyfolge in X. Zeigen Sie: Gibt es eine Teilfolge
> > > [mm](x_n_k)[/mm] von [mm](x_n),[/mm] die gegen x [mm]\in[/mm] X konvergiert, so idt
> > > [mm](x_n)[/mm] konvergent und es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > > = x.
>  >  
> > Tipp: Ist [mm](x_{n_k})_k[/mm] konvergent gegen [mm]x\,,[/mm] so gilt
>  >  
> > [mm]d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)\,.[/mm]
>  >  
> > Bedenke nun, dass [mm](x_n)[/mm] Cauchy ist, um eine Aussage über
> > [mm]d(x_n,x_{n_k})[/mm] zu erzielen...
> > beachte dabei [mm]n_k \ge k\,.[/mm] (Und dass [mm]d(x_{x_k},x) \to 0[/mm] bei
> > [mm]k \to \infty\,,[/mm] ist klar).
>  
> Da [mm]x_{n}[/mm] cauchy ist, konvergiert [mm]x_{n_k}[/mm] gegen [mm]x_{n}[/mm] für k
> [mm]\to \infty.[/mm]

nein. Fred hat es schon gesagt. Und ich habe Dir ja nicht umsonst einen
weiteren Hinweis gegeben.

Ziel dabei ist übrigens:

    [mm] $d(x_n,x) [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_0$ [/mm]

einzusehen. Eigentlich musst Du nur noch nach Anleitung vorgehen und
die ... ergänzen.

> Also steht da: [mm]d(x_{n},x) \le[/mm] 0, somit
> [mm]d(x_{n},x)[/mm] =0. Also konvergiert [mm]x_{n}[/mm] gegen x.

Nein, wie gesagt: Lies' das folgende nochmal (am Besten in der Original-
Antwort).

Gruß,
  Marcel

> > Weiterer Hinweis: Führe einen Beweis mit der
> > Epsilontechnik: Sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann gibt
> > es ein [mm]k_0[/mm] mit [mm]d(x_{n_k},x) < \epsilon/2[/mm] für alle [mm]k \ge k_0\,,[/mm]
> > weil...?
>  >  
> > Ferner: [mm](x_n)[/mm] ist Cauchy, also gibt es ein [mm]n_0[/mm] mit
> >
> > [mm]\forall n,m \ge n_0[/mm] gilt [mm]d(x_{n},x_m) < \epsilon/2\,.[/mm]
>  >  
> > Sei [mm]N_0:=\max\{n_0,\;k_0\}\,.[/mm] Für alle [mm]n \ge N_0[/mm] folgt
> > dann: (Sogar für alle,
>  >  aber insbesondere für ein) [mm]k \ge N_0[/mm] ist
>  >  
> > [mm]d(x_n,x_{n_k}) < ...,[/mm] weil [mm]n \ge n_0[/mm] und [mm]n_k \ge k \ge N_0 \ge n_0[/mm]
>  
> >  

> > und wegen [mm]k \ge N_0 \ge k_0[/mm] ist
>  >  
> > [mm]d(x_{n_k},x) < ...\,,[/mm]
>  >  
> > also
>  >  
> > [mm]d(x_n,x) < ... + ...=...[/mm]
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel
>  


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