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| Aufgabe | | Bilden Sie das Cauchyprodukt [mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k} [/mm] der Reihen [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] mit [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4^{k}} [/mm] und [mm] \summe_{m=0}^{\infty} b_{m} [/mm] = [mm] \bruch{16^{-m}}{m!} [/mm] und berechnen Sie das Reihenglied [mm] c_{2} [/mm] des Cauchyprodukts. |
Also das Cauchyprodukt ist ja folgendermaßen definiert:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{k} a_{k-l}\cdot{}b_{l}
[/mm]
Ich hab das Cauchyprodukt folgendermaßen gebildet:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k} [/mm] := [mm] \bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Dann hab ich den Zähler des zweiten Faktors in den Nenner gebracht:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k} [/mm] := [mm] \bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{1}{16^{l}\cdot{}l!}
[/mm]
Da ich ja das zweite Reihenglied berechnen soll, hab ich für k und l 2 eingesetzt:
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4^{2-2}\cdot{}16^{2}\cdot{}2!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{512}
[/mm]
Das richtige Ergebnis lautet allerdings [mm] \bruch{41}{512}. [/mm] Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch gemacht hab?
Lg
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Hallo,
> Bilden Sie das Cauchyprodukt [mm]\summe_{k=0}^{\infty} c_{k}[/mm]
> der Reihen [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm] mit [mm]a_{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4^{k}}[/mm] und [mm]\summe_{m=0}^{\infty} b_{m}[/mm] =
> [mm]\bruch{16^{-m}}{m!}[/mm] und berechnen Sie das Reihenglied [mm]c_{2}[/mm]
> des Cauchyprodukts.
> Also das Cauchyprodukt ist ja folgendermaßen definiert:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{k} a_{k-l}\cdot{}b_{l}[/mm]
>
> Ich hab das Cauchyprodukt folgendermaßen gebildet:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} c_{k}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
>
Nein, denn deine [mm] c_k [/mm] sind jeweils eine Summe:
[mm]\summe_{l=0}^{k} a_{k-l}\cdot{}b_{l}[/mm]
> Dann hab ich den Zähler des zweiten Faktors in den Nenner
> gebracht:
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} c_{k}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{1}{16^{l}\cdot{}l!}[/mm]
>
> Da ich ja das zweite Reihenglied berechnen soll, hab ich
> für k und l 2 eingesetzt:
>
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4^{2-2}\cdot{}16^{2}\cdot{}2!}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{512}[/mm]
>
> Das richtige Ergebnis lautet allerdings [mm]\bruch{41}{512}.[/mm]
> Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch gemacht hab?
Du musst also den von dir ermittelten Term noch summieren, d.h. für [mm] c_2 [/mm] also:
[mm] c_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{16^{-0}}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4^{1}} [/mm] * [mm] \bruch{16^{-1}}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4^{0}} [/mm] * [mm] \bruch{16^{-2}}{2!}
[/mm]
>
Das sollte es tun 
> Lg
lg weightgainer
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Aja genau...
Vielen Dank!
Eine Frage hab ich aber noch, wieso ist die Potenz von $ [mm] \bruch{1}{4^{2}} [/mm] $ positiv für k = 0?
Ich hab doch die Form:
$ [mm] \bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!} [/mm] $
Für l setze ich 2 ein oder?
Ich weiß, dass deine Lösung so stimmt, nur frage ich mich wieso die Potenz postiv ist.
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Aja genau...
>
> Vielen Dank!
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> Eine Frage hab ich aber noch, wieso ist die Potenz von
> [mm]\bruch{1}{4^{2}}[/mm] positiv für k = 0?
>
> Ich hab doch die Form:
> [mm]\bruch{1}{4^{k-l}}\cdot{}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]
>
> Für l setze ich 2 ein oder?
> Ich weiß, dass deine Lösung so stimmt, nur frage ich
> mich wieso die Potenz postiv ist.
Das Cauchyprodukt liefert die Koeffizienten [mm]c_{k}[/mm]:
[mm]c_{k}=\summe_{l=0}^{k}\bruch{1}{4^{k-l}}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]
Offenbar hast Du hier den Koeffizienten [mm]c_{2}[/mm] betrachtet:
[mm]c_{2}=\summe_{l=0}^{2}\bruch{1}{4^{2-l}}\bruch{16^{-l}}{l!}[/mm]
Damit lautet dieser Koeffizient:
[mm]c_{2}=\bruch{1}{4^{2-0}}\bruch{16^{-0}}{0!}+\bruch{1}{4^{2-1}}\bruch{16^{-1}}{1!}+\bruch{1}{4^{2-2}}\bruch{16^{-2}}{2!}=\bruch{1}{4^{2}}\bruch{16^{-0}}{0!}+\bruch{1}{4^{1}}\bruch{16^{-1}}{1!}+\bruch{1}{4^{0}}\bruch{16^{-2}}{2!}[/mm]
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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Alles klar, vielen Dank!!
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