Cauchyscher Grenzwertsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Di 30.11.2004 | | Autor: | Gero |
Hallöle an alle,
Ich steck mal wieder in einer Aufgabe, mit der ich nicht so viel anfangen kann und zwar folgende:
" [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] sei eine streng monoton wachsende Folge mit [mm] b_{n} \to \infty [/mm] . Zeigen Sie
(i) [mm] \bruch{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}} \to [/mm] a [mm] \in \IC \Rightarrow \bruch{a_{n}}{b_{n}} \to [/mm] a
und damit:
(ii) [mm] \bruch{1^{p}+2^{p}+...+n^{p}}{n^{p+1}} \to \bruch{1}{p+1} [/mm] für alle p [mm] \in \IN"
[/mm]
Tipps dazu hab ich auch *g*:
Benutzt werden soll der Cauchysche Grenzwertsatz (und zwar: sei [mm] p_{n} \ge [/mm] 0, p1+...+pn [mm] \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] und [mm] a_{1} \to [/mm] a [mm] \in \IC. [/mm] Dann gilt:
[mm] \bruch{p_{1}a_{1}+...+p_{n}a_{n}}{p_{1}+...+p_{n}} \to [/mm] a
Zu (i):
- Definiere neue Folge [mm] p_{k}:=b{k}-b_{k-1} [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] p_{1}:= b_{1} -b_{0} [/mm] wobei [mm] a_{0}:=0 [/mm] und [mm] b_{0}:=0
[/mm]
- Definiere nochmal [mm] c_{n}:= \bruch{a_{n}-a_{n+1}}{p_{n}}
[/mm]
(Cauchyscher Grenzwertsatz) [mm] \Rightarrow \bruch{ \summe_{k=1}^{n} p_{k}c_{k}}{ \summe_{k=1}^{n}p_{k}} \to [/mm] man soll schauen wie´s weitergeht.
zu (ii):
- Benutze die geometrische Reihe, beobachte das Reziproke [mm] \to [/mm] p+1 und beachte die Grenzwertsätze.
Trotz dieser vielen Tipps finde ich leider keine Lösung! Kann mir vielleicht jemand helfen??
Danke schonmal im voraus!
Gruß Gero
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:19 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Gero |
Hi @ all,
Weiß nicht noch jemand ne Lösung zu obiger Frage? Wäre wirklich nett, auch wenn´s nur ein Ansatz wäre, da ich nichts damit anfangen kann!
Danke schonmal im voraus!
Gruß Gero
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Hier ist ein kleiner Fehler, es müsste heißen
> - Definiere nochmal [mm]c_{n}:= \bruch{a_{n}-a_{n-1}}{p_{n}}
[/mm]
> (Cauchyscher Grenzwertsatz) [mm]\Rightarrow \bruch{ \summe_{k=1}^{n} p_{k}c_{k}}{ \summe_{k=1}^{n}p_{k}} \to[/mm] , wenn man jetzt einsetzt und kürzt kommt man zu: [mm] \bruch{ \summe_{k=1}^{n} a_{k}-a_{k-1}}{ \summe_{k=1}^{n}b_{k}-b_{k-1}}, [/mm] daraus folgt mit der Teleskopsumme [mm] \bruch{a_{n}-a_{0}}{b-{n}-b{0}} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}}{b_{n}}, [/mm] d.h das ganze geht gegen a.
Dann muss man ja noch zeigen, dass man den Satz überhaupt anwenden darf. [mm] \summe_{k=1}^{n}b_{k}-b_{k-1} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] - [mm] b_{0} [/mm] geht gegen unendlich.
Stimmt das so?
Aber beim zweiten Teil wissen wir nicht mal, wie man [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] definieren soll.
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 02.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Gero und Nette!
Der erste Teil wurde von Nette richtig beantwortet. 
Beim zweiten Teil setzt ihr
[mm] $p_i [/mm] = [mm] (i+1)^{p+1} [/mm] - [mm] i^{p+1}$
[/mm]
und
[mm] $a_i [/mm] = [mm] \frac{i^p}{(i+1)^{p+1} - i^{p+1}}$.
[/mm]
Dann habt ihr
[mm] $\frac{1^p + 2^p + \ldots + n^p}{n^{p+1}} [/mm] = [mm] \frac{\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_i\, p_i}{\sum\limits_{i=0}^{n-1} p_i}$.
[/mm]
Beachtet, dass im Nenner wieder eine Teleskopsumme steht.
Nun konvergiert nach dem Cauchyschen Konvergenzsatz diese Folge von Brüchen gegen
[mm] $\lim\limits_{i \to \infty} \frac{i^p}{(i+1)^{p+1} - i^{p+1}}$.
[/mm]
Hier betrachten wir nun den Nenner. Es gilt:
[mm] $(i+1)^{p+1} [/mm] - [mm] i^{p+1} [/mm] = [mm] i^{p+1} [/mm] + [mm] (p+1)i^p [/mm] + [mm] \sum\limits_{k=0}^{p-1} [/mm] {{p+1} [mm] \choose k}i^k [/mm] - [mm] i^{p+1} [/mm] = [mm] (p+1)i^p [/mm] + [mm] \sum\limits_{k=0}^{p-1} [/mm] {{p+1} [mm] \choose k}i^k [/mm] $
und daher:
[mm] $\lim\limits_{i \to \infty} \frac{i^p}{(i+1)^{p+1} - i^{p+1}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{i \to \infty} \frac{i^p}{(p+1)i^p + \sum\limits_{k=0}^{p-1} {{p+1} \choose k}i^k } [/mm] = [mm] \frac{1}{p+1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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