Charakt. Polynom von f < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 17.04.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hallo, habe folgende Aufgabe erhalten:
Es seinen V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit endlicher Dimension und L(V,V) ein Endomorphismus mit f [mm] \circ [/mm] f = idv.
U1 := [mm] \{x\in V | f(x)=x \}
[/mm]
U1 := [mm] \{x\in V | f(x)=-x \}
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass die Teilmengen U1 und U2 UR von V sind mit U1 [mm] \oplus [/mm] U2 = V.
Das habe ich schon erlegigt.
2. Berechnen Sie das charakteristische Polynom von f.
Wie geht denn das ?
Ich habe mir überlegt, dass ich eine Basis benötige, aber welche nehme ich dann ?
z.b. 1 für U1, und -1 für U2 ?
Sodass, das charakteristische Polynom von f irgendwie -vielfaches ist ?
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Help........ i need somebody,
Help.........not just anybody,
HELP !
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Gruß!
Naja, im vorliegenden Fall ist $V$ die direkte Summe zweier Eigenräume und zwar zu den Eigenwerten 1 und -1.
Daraus folgt, dass das char. Polynom von $f$ folgendermaßen aussieht:
[mm] $\chi_f [/mm] = (T - [mm] 1)^l \cdot [/mm] (T + [mm] 1)^r$
[/mm]
Dabei ist $l + r= n$ mit $l = [mm] \dim U_1$ [/mm] und $r = [mm] \dim U_2$.
[/mm]
Lars
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