Charakterisierung der Ex.funkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:10 Sa 16.05.2015 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei $f$ holomorph und es gelte [mm] $f(z+w)=f(z)\cdot [/mm] f(w).$ [mm] $\forall [/mm] z,w [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] Sei weiters [mm] $f(0)\neq [/mm] 0 .$ Dann gilt $f(z) = [mm] a^z$ $\forall z\in \mathbb{C}.$ [/mm] |
Nun, für natürliche $z$ ist dieser Beweis einfach:
$f(z) = f(1+ 1 + [mm] \ldots [/mm] + 1)= [mm] f(1)\cdot f(1)\cdotsf(1)= f(1)^z.$ [/mm] Definiere also $f(1)=:a$ und ich erhalte $f(z)= [mm] a^z.$ [/mm] Ähnlich geht es für [mm] $\mathbb{Q} \ni [/mm] z= [mm] \frac{p}{q} [/mm] .$ Denn $f(z) = [mm] f(\frac{1}{q} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{1}{q})= f(\frac{1}{q}) [/mm] f( [mm] \frac{1}{q}) \cdots f(\frac{1}{q}) [/mm] = [mm] f(\frac{1}{q})^p [/mm] = [mm] f(\frac{1}{q})^{qz} [/mm] = [mm] (f(\frac{1}{q})^q)^z [/mm] = [mm] (f(\frac{1}{q}) \cdots f(\frac{1}{q}))^z [/mm] $ $= [mm] (f(\frac{1}{q} [/mm] + [mm] \frac{1}{q} \ldots [/mm] + [mm] \frac{1}{q}))^z [/mm] = [mm] f(q\cdot \frac{1}{q}) [/mm] ^z = [mm] f(1)^z [/mm] = [mm] a^z$
[/mm]
Wie ich das ganze allerdings auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und dann auch noch auf ganz [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] ausdehnen kann, sehe ich leider nicht. Sieht das Jemand? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f[/mm] holomorph und es gelte [mm]f(z+w)=f(z)\cdot f(w).[/mm] [mm]\forall z,w \in \mathbb{C}[/mm]
> Sei weiters [mm]f(0)\neq 0 .[/mm] Dann gilt [mm]f(z) = a^z[/mm] [mm]\forall z\in \mathbb{C}.[/mm]
>
> Nun, für natürliche [mm]z[/mm] ist dieser Beweis einfach:
> [mm]f(z) = f(1+ 1 + \ldots + 1)= f(1)\cdot f(1)\cdotsf(1)= f(1)^z.[/mm]
> Definiere also [mm]f(1)=:a[/mm] und ich erhalte [mm]f(z)= a^z.[/mm] Ähnlich
> geht es für [mm]\mathbb{Q} \ni z= \frac{p}{q} .[/mm] Denn [mm]f(z) = f(\frac{1}{q} + \ldots + \frac{1}{q})= f(\frac{1}{q}) f( \frac{1}{q}) \cdots f(\frac{1}{q}) = f(\frac{1}{q})^p = f(\frac{1}{q})^{qz} = (f(\frac{1}{q})^q)^z = (f(\frac{1}{q}) \cdots f(\frac{1}{q}))^z[/mm]
> [mm]= (f(\frac{1}{q} + \frac{1}{q} \ldots + \frac{1}{q}))^z = f(q\cdot \frac{1}{q}) ^z = f(1)^z = a^z[/mm]
>
> Wie ich das ganze allerdings auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] und dann
> auch noch auf ganz [mm]\mathbb{C}[/mm] ausdehnen kann, sehe ich
> leider nicht. Sieht das Jemand? :)
da ich gerade nicht viel Zeit habe, vielleicht ein Stichwort:
Ist der Identitätssatz für holomorphe Funktionen schon bekannt?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Sa 16.05.2015 | | Autor: | clemenum |
Hallo Marcel,
ja, er ist bekannt, aber was hilft er mir weiter? Dass ich eventuell nur eine (geeignete) Teilmenge brauche, das heißt, ich muss es 'nur' für ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] beweisen, meinst du das?'
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 16.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass [mm] a^z [/mm] die Funktionalgleichung erfüllt kannst du doch zeigen,
Gruß ledum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> dass [mm]a^z[/mm] die Funktionalgleichung erfüllt kannst du doch
> zeigen,
das ist aber nicht genug. Es muss auch gezeigt werden, dass das die einzige
Funktion ist. D.h. ist [mm] $g\,$ [/mm] eine weitere Funktion mit den Eigenschaften, die für
[mm] $f\,$ [/mm] gefordert wurden, so muss
$f(z) [mm] \equiv [/mm] g(z)$
folgen!
Die holomorphe Nullfunktion würde ja auch $f(z+w)=f(z)*f(w)$ erfüllen - diese
wird aber durch $f(0) [mm] \neq [/mm] 0$ ausgeschlossen.
Es ist aber nicht o.W. klar, dass eine Funktion anderer Bauart nicht vielleicht
auch die Funktionalgleichung erfüllen könnte.
Was Du im Prinzip ansprichst ist nur ein "Existenzbeweis". Dann fehlt aber
der "Eindeutigkeitsteil"!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 16.05.2015 | | Autor: | hippias |
Bei einer Funktion mit so schoenen Eigenschaften koennte es auch erhellend sein die Ableitung zu berechnen: ganz klassisch ueber die Definition als Grenzwert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bei einer Funktion mit so schoenen Eigenschaften koennte es
> auch erhellend sein die Ableitung zu berechnen: ganz
> klassisch ueber die Definition als Grenzwert.
und dann? Taylorreihenentwicklung? 
Ich verstehe gar nicht, warum hier nicht der Identitätssatz benutzt wird,
wenn er doch schon zur Verfügung steht. Die Erweiterung etwa des Sinus
oder Kosinus ins Komplexe mit *Erhaltung der schönen Eigenschaften* kann
man doch damit genauso gut motivieren.
Aber klar: Viele Wege sind möglich. Wie würdest Du denn hier - denn ich
vermute, dass Du Dir das bei einem solchen Weg gedacht hast - weiter
vorgehen, um mit möglichst elementarem Wissen(!?) die Aufgabe zu lösen?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
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> ja, er ist bekannt, aber was hilft er mir weiter? Dass ich
> eventuell nur eine (geeignete) Teilmenge brauche, das
> heißt, ich muss es 'nur' für ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] beweisen,
> meinst du das?'
![[]](/images/popup.gif) Satz 29.11Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Na; Betrachte irendeine Nullumgebung in $\IC$, d.h.
$B\epsilon(0)=\{z \in \IC \mid |z| < \epsilon\}$.
Nun betrachte $z_n:=1/(n+k) \to 0$; dabei sei $k=k(\epsilon) \in \IN$ so groß, dass
$1/(1+k) \in B_\epsilon(0)$ (und damit alle $z_n \in B_\epsilon(0)$) fällt (fallen).
[Es ist nur $k=k(\epsilon)$, d.h. k wird bei vorgegebenem $\epsilon > 0$ nur einmal gewählt,
hat also *eine Parametereigenschaft*.]
Weil alle $z_n \in \IQ$ und $z_n \to 0$, weißt Du, dass $f(z_n)=a^{z_n}$ (mit $a=f(1)$ - das
hattest Du ja selbst schon hergeleitet) und die Funktion $z \longmapsto a^{z}$ ist ja
auch holomorph (in $B_\epsilon(0)$).
0 ist HP von $(z_n)$ mit $0 \in B_\epsilon(0) \ni z_n \to 0$.
Es folgt: $\left. f \right|_{B_\epsilon(0)} \equiv \left. (z \longmapsto a^z) \right|_{|B_\epsilon(0)}$.
(Was links steht, ist klar, rechts meine ich die Einschränkung der Funktion $\IC \ni z \longmapsto a^z \in \IC$
auf $B_{\epsilon}(0)$ - beachte, dass $B_\epsilon(0)$ ein Gebiet in $\IC$ ist!)
Der Rest ist klar, oder? Falls nicht: Benutze
$\IC=\bigcup_{\epsilon > 0}B_\epsilon(0)$
Gruß,
Marcel
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