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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 21.12.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring. Der Kern des Ringhomomorphismus [mm] \phi:\IZ\to [/mm] R mit [mm] \phi(n)=n*1_R=1_R+...+1_R [/mm] ist ein Ideal im Hauptidealring [mm] \IZ. [/mm] Also gibt es ein Element [mm] p\in \IN_0 [/mm] mit [mm] kern(\phi)= .
[/mm]
Man nennt p die Charakteristik char(R) des Rings R. Zeigen Sie folgende Aussagen:
(i) Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann ist char(R) entweder eine Primzahl oder Null.
(ii) Es gilt für alle r [mm] \in [/mm] R, dass [mm] p*r=0_R.
[/mm]
(iii) Wenn R ein endlicher Ring ist, dann ist |R| eine Potenz von char(R).
(iv) Es gelte [mm] $char(R)=p\not= [/mm] 0$. Dann ist die Frobenius-Abbildung F: R [mm] \to [/mm] R, r [mm] \mapsto r^p [/mm] ein Ringhomomorphismus, der im Falle eines Integritätsbereichs injektiv ist. |
Hallo! Wäre nett wenn jemand drüber guckt! :)
(i) Sei R ein Integritätsbereich, also Nullteilerfrei.
Ist R unendlich, folgt ja direkt:
[mm] \nexists r\in\IZ, r\not= [/mm] 0 : [mm] r*1_R=0 [/mm] und damit folgt [mm] kern(\phi)={0}.
[/mm]
Ist R endlich, müsste es um Nullteilerfrei zu sein, ein Restklassenring der Form [mm] \IZ\backslash p\IZ [/mm] (p prim) sein (oder gibt es noch andere Möglichkeiten??)
Denn mit [mm] r*1_R=p=0_R [/mm] (mod p) ist die Primzahl [mm] p\in \IZ [/mm] die 0 [mm] \in [/mm] R also [mm] kern(\phi)=. [/mm] Es ist also char(R)=0 oder char(R)=p. Hat da jemand Verbesserungsvorschläge? Habe das Gefühl nur um den heißen Brei herum zu reden...
(ii) [mm] kern(\phi)= \gdw \phi(p)=p*1=0 [/mm] multipliziere mit r => [mm] r*\phi(p)=p*r=0 [/mm] also p*r=0 [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R.
(iii) Also mit char(R)=p folgt doch, dass [mm] \phi(p)=p*1_R=0 [/mm] also muss R doch der Restklassenring [mm] \IZ\backslash p\IZ [/mm] sein?? Habe das Gefühl ich lasse da was ausser acht... naja, weiter wäre |R|=p und damit die Potenz [mm] p^1 [/mm] von char(R)=p. (?)
(iv) Ringhomomorphismus ist ja trivial: [mm] \phi(a*b)=(a*b)^p=a^p*b^p=\phi(a)*\phi(b).
[/mm]
Jetzt soll R ein Integritätsbereich sein, also Nullteilerfrei. Dann ist char(R) hier eine Primzahl und es ist [mm] p=0_R \in [/mm] R also [mm] kern(\phi)= =\{0_R\}.
[/mm]
Wobei mir hier doch so einige Zweifel kommen.. leider komme ich sonst auf nichts.
Dankeschön schonmal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:42 Do 22.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> (iii) Wenn R ein endlicher Ring ist, dann ist |R| eine
> Potenz von char(R).
Hab grad nicht viel Zeit, deshalb nur eine kurze Anmerkung: Aussage (iii) ist falsch: man kann einen Ring mit 4 Elementen und Char. 2 nehmen und einen Ring mit 3 Elementen; deren direktes Produkt hat Charakteristik 6 und Ordnung 12.
LG Felix
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> Sei R ein kommutativer Ring. Der Kern des
> Ringhomomorphismus [mm]\phi:\IZ\to[/mm] R mit
> [mm]\phi(n)=n*1_R=1_R+...+1_R[/mm] ist ein Ideal im Hauptidealring
> [mm]\IZ.[/mm] Also gibt es ein Element [mm]p\in \IN_0[/mm] mit
> [mm]kern(\phi)=.[/mm]
> Man nennt p die Charakteristik char(R) des Rings R. Zeigen
> Sie folgende Aussagen:
>
> (i) Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann ist char(R)
> entweder eine Primzahl oder Null.
>
> (ii) Es gilt für alle r [mm]\in[/mm] R, dass [mm]p*r=0_R.[/mm]
>
> (iii) Wenn R ein endlicher Ring ist, dann ist |R| eine
> Potenz von char(R).
>
> (iv) Es gelte [mm]char(R)=p\not= 0[/mm]. Dann ist die
> Frobenius-Abbildung F: R [mm]\to[/mm] R, r [mm]\mapsto r^p[/mm] ein
> Ringhomomorphismus, der im Falle eines Integritätsbereichs
> injektiv ist.
> Hallo! Wäre nett wenn jemand drüber guckt! :)
>
> (i) Sei R ein Integritätsbereich, also Nullteilerfrei.
> Ist R unendlich, folgt ja direkt:
> [mm]\nexists r\in\IZ, r\not=[/mm] 0 : [mm]r*1_R=0[/mm] und damit folgt
> [mm]kern(\phi)={0}.[/mm]
Das stimmt nicht, z.B. hat der Ring der Polynome über [mm] \IZ\backslash 2\IZ [/mm] unendliche viele Elemente und Charakteristik 2.
> Ist R endlich, müsste es um Nullteilerfrei zu sein, ein
> Restklassenring der Form [mm]\IZ\backslash p\IZ[/mm] (p prim) sein
> (oder gibt es noch andere Möglichkeiten??)
Ja, z.B. Körper mit [mm] p^n [/mm] Elementen.
> Denn mit [mm]r*1_R=p=0_R[/mm] (mod p) ist die Primzahl [mm]p\in \IZ[/mm] die
> 0 [mm]\in[/mm] R also [mm]kern(\phi)=.[/mm] Es ist also char(R)=0 oder
> char(R)=p. Hat da jemand Verbesserungsvorschläge? Habe das
> Gefühl nur um den heißen Brei herum zu reden...
Bei (i) ist ein indirekter Beweis angesagt: Wenn die Charakteristik eine zusammengesetzte Zahl ist, dann gibt es Nullteiler.
>
> (ii) [mm]kern(\phi)= \gdw \phi(p)=p*1=0[/mm] multipliziere mit r
> => [mm]r*\phi(p)=p*r=0[/mm] also p*r=0 [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm] R.
Das kommt hin
>
> (iii) Also mit char(R)=p folgt doch, dass [mm]\phi(p)=p*1_R=0[/mm]
> also muss R doch der Restklassenring [mm]\IZ\backslash p\IZ[/mm]
> sein?? Habe das Gefühl ich lasse da was ausser acht...
> naja, weiter wäre |R|=p und damit die Potenz [mm]p^1[/mm] von
> char(R)=p. (?)
>
> (iv) Ringhomomorphismus ist ja trivial:
> [mm]\phi(a*b)=(a*b)^p=a^p*b^p=\phi(a)*\phi(b).[/mm]
Es gibt noch die zweite Bedingung [mm] \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)
[/mm]
Dabei musst du ausnutzen, dass p die Charakteristik ist.
> Jetzt soll R ein Integritätsbereich sein, also
> Nullteilerfrei. Dann ist char(R) hier eine Primzahl und es
> ist [mm]p=0_R \in[/mm] R also [mm]kern(\phi)==\{0_R\}.[/mm]
> Wobei mir hier doch so einige Zweifel kommen.. leider
> komme ich sonst auf nichts.
Warum der Kern = <p> sein soll, ist mir hier nicht ganz klar.
>
> Dankeschön schonmal!!
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