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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Charakteristik, Wellengl.
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Charakteristik, Wellengl.: Tipp gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Mi 26.10.2011
Autor: aly19

Aufgabe
1) (nicht eindeutig lösbare) DGL [mm] (\partial_x u(x,y))^2-y(\partial_y u(x,y))^2=0 [/mm] für [mm] (x,y)\in \IR_{\geq 0}\times \IR_{\geq 0}. [/mm]
a) Berechnen sie die zugehörigen charakteristischen Richtungen.
b) Geben sie eine nicht triviale Lösung der DGL an.

2) u [mm] \in C^2(\IR \times [/mm] ]0, [mm] \infty[), [/mm] x [mm] \tau \in C^1(\IR \times [/mm] ]0, [mm] \infty[). [/mm] zeigen sie dass die nichtlineare wellengleichung [mm] \partial_t^2u-\partial_xp(\partial_xu)=0 [/mm] äquivalent zum p-System
[mm] \partial_t \tau-\partial_xv=0 [/mm]
[mm] \partial_t v-\partial_x p(\tau)=0 [/mm]
ist.

sooo, ich komm bei beiden aufgaben nicht weiter und hoffe, dass hier jemand nen Tipp für mich hat.
zu 1)
also ich weiß nicht wie ich die dgl auf die Form bekomme, so dass ich diese charakteristiken methode anwenden kann, was mich stört sind die quadrate, kann ich da nicht einfach die wurzel ziehen?
2) äquivalent bedeutet hier doch, dass beide Gleichungen diesele Lösung haben oder? ich weiß irgendwie nicht so genau, was [mm] \partial_xp(\partial_x [/mm] u) ist, das p hängt doch nicht explizit von x ab oder? als tipp haben wir noch: satz von schwarz und hauptsatz der integral- und differentialrechnung.
Ich hoffe jemand hat dazu nen Tipp für mich. Das wäre super, viele grüße.

        
Bezug
Charakteristik, Wellengl.: Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Mi 26.10.2011
Autor: MathePower

Hallo aly19,

> 1) (nicht eindeutig lösbare) DGL [mm](\partial_x u(x,y))^2-y(\partial_y u(x,y))^2=0[/mm]
> für [mm](x,y)\in \IR_{\geq 0}\times \IR_{\geq 0}.[/mm]
>  a)
> Berechnen sie die zugehörigen charakteristischen
> Richtungen.
> b) Geben sie eine nicht triviale Lösung der DGL an.
>
> 2) u [mm]\in C^2(\IR \times[/mm] ]0, [mm]\infty[),[/mm] x [mm]\tau \in C^1(\IR \times[/mm]
> ]0, [mm]\infty[).[/mm] zeigen sie dass die nichtlineare
> wellengleichung [mm]\partial_t^2u-\partial_xp(\partial_xu)=0[/mm]
> äquivalent zum p-System
> [mm]\partial_t \tau-\partial_xv=0[/mm]
>  [mm]\partial_t v-\partial_x p(\tau)=0[/mm]
>  
> ist.
>  sooo, ich komm bei beiden aufgaben nicht weiter und hoffe,
> dass hier jemand nen Tipp für mich hat.
> zu 1)
> also ich weiß nicht wie ich die dgl auf die Form bekomme,
> so dass ich diese charakteristiken methode anwenden kann,
> was mich stört sind die quadrate, kann ich da nicht
> einfach die wurzel ziehen?


Nein.

Zerlege die gegebene DGL in ein Produkt aus 2 Faktoren.

Stichwort: 3. Binomische Formel.


>  2) äquivalent bedeutet hier doch, dass beide Gleichungen
> diesele Lösung haben oder? ich weiß irgendwie nicht so
> genau, was [mm]\partial_xp(\partial_x[/mm] u) ist, das p hängt doch
> nicht explizit von x ab oder? als tipp haben wir noch: satz
> von schwarz und hauptsatz der integral- und
> differentialrechnung.
> Ich hoffe jemand hat dazu nen Tipp für mich. Das wäre
> super, viele grüße.  



Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Charakteristik, Wellengl.: Tipp gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mi 26.10.2011
Autor: aly19

danke für die schnelle antwort :)
okay dann bekomme ich:
[mm] (\partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y))(\partial_x u(x,y)-\wurzel{y}\partial_yu(x,y))=0 [/mm]
also muss einer der Faktoren Null werden, kann ich die dann gertennt betrachten?
also zunächst den Fall:
[mm] \partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y)=0?? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Charakteristik, Wellengl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:41 Do 27.10.2011
Autor: MathePower

Hallo aly19,

> danke für die schnelle antwort :)
>  okay dann bekomme ich:
> [mm](\partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y))(\partial_x u(x,y)-\wurzel{y}\partial_yu(x,y))=0[/mm]
>  
> also muss einer der Faktoren Null werden, kann ich die dann
> gertennt betrachten?
> also zunächst den Fall:
> [mm]\partial_xu(x,y)+\wurzel{y}\partial_yu(x,y)=0??[/mm]  


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Charakteristik, Wellengl.: Tipp gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Mi 26.10.2011
Autor: aly19

also ich hab das jetzt mal gemacht und würde dann als charakteristik bekommen, [mm] \gamma(t)=(t,(\pm t/2+C)^2) [/mm] kann das stimmen? die konstante muss doch noch drinstehen weil kein anfangswert gegeben ist oder? wäre super wenn das nochmal jemand angucken kann. viele grüßee

Bezug
                        
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Charakteristik, Wellengl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:48 Do 27.10.2011
Autor: MathePower

Hallo aly19,

> also ich hab das jetzt mal gemacht und würde dann als
> charakteristik bekommen, [mm]\gamma(t)=(t,(\pm t/2+C)^2)[/mm] kann
> das stimmen? die konstante muss doch noch drinstehen weil
> kein anfangswert gegeben ist oder? wäre super wenn das
> nochmal jemand angucken kann. viele grüßee


Ja, das stimmt.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Charakteristik, Wellengl.: zu 2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Do 27.10.2011
Autor: MatthiasKr

Hallo,

> 1) (nicht eindeutig lösbare) DGL [mm](\partial_x u(x,y))^2-y(\partial_y u(x,y))^2=0[/mm]
> für [mm](x,y)\in \IR_{\geq 0}\times \IR_{\geq 0}.[/mm]
>  a)
> Berechnen sie die zugehörigen charakteristischen
> Richtungen.
> b) Geben sie eine nicht triviale Lösung der DGL an.
>
> 2) u [mm]\in C^2(\IR \times[/mm] ]0, [mm]\infty[),[/mm] x [mm]\tau \in C^1(\IR \times[/mm]
> ]0, [mm]\infty[).[/mm] zeigen sie dass die nichtlineare
> wellengleichung [mm]\partial_t^2u-\partial_xp(\partial_xu)=0[/mm]
> äquivalent zum p-System
> [mm]\partial_t \tau-\partial_xv=0[/mm]
>  [mm]\partial_t v-\partial_x p(\tau)=0[/mm]
>  
> ist.
>  sooo, ich komm bei beiden aufgaben nicht weiter und hoffe,
> dass hier jemand nen Tipp für mich hat.
> zu 1)
> also ich weiß nicht wie ich die dgl auf die Form bekomme,
> so dass ich diese charakteristiken methode anwenden kann,
> was mich stört sind die quadrate, kann ich da nicht
> einfach die wurzel ziehen?
>  2) äquivalent bedeutet hier doch, dass beide Gleichungen
> diesele Lösung haben oder? ich weiß irgendwie nicht so
> genau, was [mm]\partial_xp(\partial_x[/mm] u) ist, das p hängt doch
> nicht explizit von x ab oder? als tipp haben wir noch: satz
> von schwarz und hauptsatz der integral- und
> differentialrechnung.
> Ich hoffe jemand hat dazu nen Tipp für mich. Das wäre
> super, viele grüße.  

Nun, zuerst mal ist es zweckmässig

[mm] $v=\partial_t [/mm] u$ und
[mm] $\tau=\partial_x [/mm] u$

zu setzen, um von der ausgangsgleichung auf die zweite der Gleichungen im p-System zu kommen. Wieso gilt dann die erste der Gleichungen automatisch?

Gruss
Matthias






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