Charakteristik von Körpern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:27 Do 23.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Sei (K,+,*) ein Körper mit Nullelement 0 und Einselement 1. Gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \times [/mm] 1 = 0;
so nennen wir das kleinste derartige n die Charakteristik von K, Schreibweise: char(K) = n.
(Hierbei ist n [mm] \times [/mm] 1 := [mm] \underbrace{1+...+1}_{n-mal} [/mm] .) Gibt es dagegen kein derartiges
n [mm] \in \IN, [/mm] so setzen wir char(K) = 0. Zeigen Sie:
a) Ist char(K) [mm] \not= [/mm] 0, so ist char(K) notwendig eine Primzahl.
Hinweis: Man führe einen Widerspruchsbeweis: angenommen, char(K) = n ist keine Primzahl,
was bedeutet das für n? Man verwende dann das Distributivgesetz sowie die Nullteilerfreiheit
von K.
b) Jeder angeordnete Körper hat die Charakteristik 0. Jeder Körper mit char(K) = 0 ist unendlich.
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Zu a) habe ich den folgenden Beweis gefunden, den ich leider nicht vollständig verstehe.
Beh.: n ist immer eine Primzahl
Bew.:
Sei n [mm] \not= [/mm] 0. Wenn n keine Primzahl ist, dann zerfällt sie in Faktoren
n [mm] \times [/mm] 1 = 0
[mm] \gdw (n_1*n_2) \times [/mm] 1 = 0
[mm] \gdw n_1 \times [/mm] 1 * [mm] n_2 \times [/mm] 1 = 0
[mm] \gdw n_1 \times [/mm] 1 =0 [mm] \wegde n_2 \times [/mm] 1 = 0 Widerspruch!
Bis hierhin ist mir das noch klar.
Da [mm] n_1 [/mm] < n und [mm] n_2 [/mm] < n müsste char(K) = [mm] n_1 [/mm] oder char(K) = [mm] n_2 [/mm] sein. D.h. n kann nicht in Faktoren zerlegt werden. D.h. n ist ein Primzahl.
Wie kommt man darauf, dass [mm] n_1 [/mm] < n und [mm] n_2 [/mm] < n ?
zu b)
Ich weiß, dass char(K) = 0, wenn es kein n > 0 gibt so dass n [mm] \times [/mm] 1 = 0 gilt. Mir ist auch bekannt, dass dies den Rechenregeln in z.B. in den Körpern [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] entspricht.
Aber wie kann man das beweisen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
xsara
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(Frage) überfällig | | Datum: | 09:33 Do 23.11.2006 | | Autor: | xsara |
Müsste es zu a) im Beweis nicht wie folgt heißen?:
Da [mm] n_1 [/mm] = n und [mm] n_2 [/mm] = n müsste char(K) = [mm] n_1 [/mm] oder char(K) = [mm] n_2 [/mm] sein. Dann könnte n nicht in [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] zerlegt werden, so dass n eine Primzahl ist.
Vielen Dank für Eure Mühe!
xsara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Do 23.11.2006 | | Autor: | Nansen |
Hallo xsara,
wir nehmen [mm] n_1, n_2 [/mm] < n an. Es geht ja um natürliche Zahlen. Oder kennst Du eine natürliche Zahl, die sich als Produkt von Zahlen darstellen lässt, die größer sind als sie selbst? ;)
Mit Deinem Widerspruchsbeweis bist Du ja bereits fertig. Du hast ja n minimal gewählt, kommst aber zu dem Widerspruch, dass [mm] n_1*1 [/mm] = 0 oder [mm] n_2 [/mm] * 1 = 0 gelten müssen, was aber im Widerspruch zur Minimalität von n steht.
Zu b)
Was weißt Du über Nullteilerfreiheit von Körpern? Kannst Du zeigen, dass ein Körper nullteilerfrei sein muss? Stichwort Inverses Element?
Wenn nicht, dann frag nochmal :)
Viele Grüße
Nansen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 26.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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