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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 So 08.05.2011 | | Autor: | H3llas |
| Aufgabe | Finde eine Allgemeine Lösung zu:
[mm] x*u_{x}+y*u_{y}+z*u_{z}=0 [/mm] |
Hi ich habe Probleme beim Lösen einer Aufgabe.
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Ich weiß, wie man so ein Problem löst für nur 2 Richtungsableitungen, also z.B.:
[mm] x*u_{x}+y*u_{y}=0
[/mm]
Dafür würde ich einfach machen:
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x}
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{y}*dy=x*dx
[/mm]
=> integrieren [mm] y=C*e^{\bruch{1}{2}*x^{2}}
[/mm]
Das ist die Charakteristik und u(x,y) ist konstant auf jeder dieser Kurven also wäre [mm] u(x,y)=f(\bruch{y}{e^{\bruch{1}{2}*x^{2}}})
[/mm]
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Bin nicht sicher, wie ich jetzt bei der oberen sehr ähnlichen Aufgabe vorgehen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo H3llas,
> Finde eine Allgemeine Lösung zu:
>
> [mm]x*u_{x}+y*u_{y}+z*u_{z}=0[/mm]
> Hi ich habe Probleme beim Lösen einer Aufgabe.
>
> --------------------------------------------------------------------------------------------
> Ich weiß, wie man so ein Problem löst für nur 2
> Richtungsableitungen, also z.B.:
>
> [mm]x*u_{x}+y*u_{y}=0[/mm]
>
> Dafür würde ich einfach machen:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> => [mm]\bruch{1}{y}*dy=x*dx[/mm]
> => integrieren [mm]y=C*e^{\bruch{1}{2}*x^{2}}[/mm]
>
> Das ist die Charakteristik und u(x,y) ist konstant auf
> jeder dieser Kurven also wäre
> [mm]u(x,y)=f(\bruch{y}{e^{\bruch{1}{2}*x^{2}}})[/mm]
Das ist nicht die Lösung.
Zunächst hast Du hier die Charakteristiken:
[mm]\dot{x}=x[/mm]
[mm]\dot{y}=y[/mm]
Diese DGLs löst Du unter Beachtung der Integrationskonstanten.
Dann musst Du diese Integrationskonstanten
irgendwie ins Verhältnis setzen.
Das ergibt dann die Lösung.
>
> --------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Bin nicht sicher, wie ich jetzt bei der oberen sehr
> ähnlichen Aufgabe vorgehen kann.
>
Nun, hier hast Du dann 3 DGLs zu lösen:
[mm]\dot{x}=x[/mm]
[mm]\dot{y}=y[/mm]
[mm]\dot{z}=z[/mm]
Dann sind ebenfalls je zwei Integrationskonstanten
ins Verhältnis zu setzen
.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 So 08.05.2011 | | Autor: | H3llas |
Also könnte ich z.B. sagen:
[mm] \bruch{dx}{ds}=x [/mm] ; [mm] \bruch{dy}{ds}=y [/mm] ; [mm] \bruch{dz}{ds}=z
[/mm]
bzw. [mm] \bruch{dx}{x}=\bruch{dy}{y} [/mm] und [mm] \bruch{dx}{x}=\bruch{dz}{z}
[/mm]
und wenn ich dann integriere bekomme ich:
[mm] c=\bruch{y}{x} [/mm] und [mm] c=\bruch{z}{x}
[/mm]
Bin ich so auf dem richtigen weg?
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Hallo H3llas,
> Also könnte ich z.B. sagen:
>
> [mm]\bruch{dx}{ds}=x[/mm] ; [mm]\bruch{dy}{ds}=y[/mm] ; [mm]\bruch{dz}{ds}=z[/mm]
>
> bzw. [mm]\bruch{dx}{x}=\bruch{dy}{y}[/mm] und
> [mm]\bruch{dx}{x}=\bruch{dz}{z}[/mm]
>
> und wenn ich dann integriere bekomme ich:
>
> [mm]c=\bruch{y}{x}[/mm] und [mm]c=\bruch{z}{x}[/mm]
Gebe den Konstanten Indizes:
[mm]c_{\blue{1}}=\bruch{y}{x}, \ c_{\blue{2}}=\bruch{z}{x}[/mm]
>
> Bin ich so auf dem richtigen weg?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 So 08.05.2011 | | Autor: | H3llas |
Danke schonmal für die Hilfe.
Jetzt bin ich aber doch wieder ein bisschen verloren, wie kann ich denn die Konstanten sinnvoll ins Verhältnis setzen?
Gruß
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Hallo H3llas,
> Danke schonmal für die Hilfe.
>
> Jetzt bin ich aber doch wieder ein bisschen verloren, wie
> kann ich denn die Konstanten sinnvoll ins Verhältnis
> setzen?
Das ist nur zu machen, wenn Du die Charakteristiken-Methode durchführst.
Jetzt das Du zwei Konstanten hast, brauchst Du das nicht mehr machen.
Daher sind Lösungen dre partiellen DGL:
[mm]u\left(x,y,z\right)=f\left(c_{1},c_{2}\right)=f\left(\bruch{y}{x},\bruch{z}{x}\right)=C, \ C \in \IR[/mm]
>
> Gruß
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mo 09.05.2011 | | Autor: | H3llas |
Hm ich dachte mir schon, dass das evtl. die Lösung sein könnte. Ich habe jetzt mal probiert das zu überprüfen und in die Gleichung einzusetzen aber irgendwie bekomme ich nicht das richtige raus:
[mm] u_{x}=\bruch{y}{x^2}*\bruch{z}{x^2}*f' [/mm] ; [mm] u_{y}=\bruch{1}{x}*f' [/mm] ; [mm] u_{z}=\bruch{1}{x}*f' [/mm]
=> [mm] x*\bruch{y}{x^2}*\bruch{z}{x^2}*f'+y*\bruch{1}{x}*f'+z*\bruch{1}{x}*f' [/mm]
das müsste ja jetzt alles wegfallen, aber das tut es nicht :S Habe ich da einen Fehler gemacht?
Gruß
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Hallo H3llas,
> Hm ich dachte mir schon, dass das evtl. die Lösung sein
> könnte. Ich habe jetzt mal probiert das zu überprüfen
> und in die Gleichung einzusetzen aber irgendwie bekomme ich
> nicht das richtige raus:
>
> [mm]u_{x}=\bruch{y}{x^2}*\bruch{z}{x^2}*f'[/mm] ;
> [mm]u_{y}=\bruch{1}{x}*f'[/mm] ; [mm]u_{z}=\bruch{1}{x}*f'[/mm]
>
> =>
> [mm]x*\bruch{y}{x^2}*\bruch{z}{x^2}*f'+y*\bruch{1}{x}*f'+z*\bruch{1}{x}*f'[/mm]
>
> das müsste ja jetzt alles wegfallen, aber das tut es nicht
> :S Habe ich da einen Fehler gemacht?
Offenbar hast Du bei obiger Rechnung
[mm]u\left(x,y,z\right)=\bruch{y}{x}\bruch{z}{x}[/mm]
gewählt.
Damit ergeben sich die partielle Ableitungen zu.
[mm]\bruch{\partial u}{\partial x }=\left(-\bruch{y}{x^{2}}\right)*\bruch{z}{x}+\bruch{y}{x}\left(-\bruch{z}{x^{2}}\right)=\left(-2\right)\bruch{y*z}{x^{3}}[/mm]
[mm]\bruch{\partial u}{\partial y} =\left(\bruch{1}{x}\right)*\bruch{z}{x}[/mm]
[mm]\bruch{\partial u}{\partial z} =\left(\bruch{y}{x}\right)*\bruch{1}{x}[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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