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| Aufgabe | 1. Charakteristische Funktionen
Es sei U eine beliebige Menge und für jedes M⊆U sei ƒM die charakteristische Funktion von M (relativ zu U). Zeigen Sie, dass für alle x∈U und A, B⊆U gilt:
a) ƒA∩B(x) = ƒA(x) ⋅ ƒB(x)
b) [mm] ƒA\B(x) [/mm] = ƒA(x) – ƒA(x) ⋅ ƒB(x)
c) A⊆B gdw. für alle u∈U gilt: ƒA(u) ≤ ƒB(u)
d) Zeigen Sie, dass ƒA ∪ ƒB keine charakteristische Funktion ist, wenn A ≠ B. |
Hallo liebe Alle,
bei dieser Aufgabenstellung fällt es mir etwas schwer, einen Ansatz zu finden, um die Aufgaben bearbeiten zu können. Ich muss dazu erwähnen das wir in den Vorlesungen nicht näher auf die charakteristischen Funktionen eingegangen sind und mich diese Aufgabe daher etwas irritiert hat, als ich sie gesehen habe. Nachdem ich mir das Thema mal im Skript und im Internet angeguckt habe, konnte ich einen kleinen Einblick bekommen um was es sich da handelt, jedoch reicht es bei weitem nicht für das Verständnis dieser Aufgabe aus.
Es wäre nett, wenn mir jemand einen Ansatz und leichte Hilfen für die Aufgabe 1 a) geben könnte, damit ich mal sehe was da von mir verlangt wird und hinter die Methode komme um die restlichen auf eigene Faust lösen zu können.
Liebe Grüße,
Erich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mi 18.06.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die charakteristische Funktion [mm] f_M(x) [/mm] spuckt immer nur 2 Werte aus, nämlich 0 oder 1. Wenn $x$ in $M$ liegt, dann eine 1, sonst 0.
Jetzt nehmen wir mal die a)
Wann ist [mm] f_{A\cap B}(x)=1? [/mm] Nach Definition, genau dann wenn [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ gilt.
Jetzt die rechte Seite. Wann ist die denn gleich 1? Genau dann wenn beide Faktoren 1 sind (warum?). Und wann gilt das?
Alternativ kannst du auch so herangehen: Du hast die beide Funktionen [mm] f_{A\cap B}(x) [/mm] und [mm] f_A(x)f_B(x). [/mm] Jetzt kannst du die Gleichheit zeigen, indem du zeigst, dass diese beiden Fnktionen sowohl auf [mm] $A\cap [/mm] B$ als auch auf [mm] $(A\cap B)^c$ [/mm] übereinstimmen. Damit stimmen sie für alle [mm] $x\in (A\cap B)\cup(A \cap B)^c=U$ [/mm] überein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Mi 18.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. Charakteristische Funktionen
> Es sei U eine beliebige Menge und für jedes M⊆U sei ƒM
> die charakteristische Funktion von M (relativ zu U). Zeigen
> Sie, dass für alle x∈U und A, B⊆U gilt:
erstmal ein Tipp an alle Leser dieser Frage: Am Besten in den Quelltext
gucken. Ein Tipp an Dich:
Die Formeln werden analog zu Latex geschrieben, wir haben aber auch
eine Formeleditorseite:
https://matheraum.de/mm.
Ich würde auch nur [mm] $U\,$ [/mm] schreiben, aber wenn Du unbedingt willst, dann
kannst Du auch
[mm] $\mathcal{U}$ ([nomm]$\mathcal{U}$[/nomm])
[/mm]
benutzen. (P.S. Wie in Latex kannst Du hier Formeln auch einfach zwischen
zwei Dollarzeichen einklammern!)
Nun werde ich ein wenig mehr machen, aber Dir dennoch nicht die Aufgaben
vorrechnen. (Ein Hinweis zu der "Teilmengenaussage:" Dort steht eine
"genau-dann, wenn"-Aussage [mm] ($\gdw$); [/mm] Du hast also zwei Folgerungen
zu beweisen!)
Ich mache Folgendes: Ich beweise Dir, dass für $A [mm] \cap [/mm] B$ $=$ [mm] $\varnothing$ [/mm] folgt, dass
(I) [mm] $f_{A \cup B}=f_A [/mm] + [mm] f_B$
[/mm]
gilt. Dabei beachte bitte, dass
[mm] $f_{A \cup B}$ [/mm] und, wegen [mm] $f_A,\;f_B$ [/mm] dann auch [mm] $f_A+f_B$
[/mm]
alles Funktionen $U [mm] \to \{0,1\}$ [/mm] sind.
Beweis zu (I): Für $x [mm] \in [/mm] U$ gilt entweder $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ oder eben $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)^C=U \setminus [/mm] (A [mm] \cup B)\,.$
[/mm]
1. Fall: Sei $x [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup B)\,.$ [/mm] Dann ist $x [mm] \notin [/mm] A$ und $x [mm] \notin [/mm] B$ und daher
[mm] $(f_A+f_B)(x)=f_A(x)+f_B(x)=0+0=0\,.$
[/mm]
Wegen $x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ ist auch
[mm] $f_{A \cup B}(x)=0\,.$
[/mm]
Also folgt in diesem Falle die behauptete Gleichheit.
2. Fall: Sei $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup B\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $f_{A \cup B}(x)=1\,.$
[/mm]
Ist nun $x [mm] \in A\,,$ [/mm] so kann wegen $A [mm] \cap [/mm] B$ $=$ [mm] $\varnothing$ [/mm] dann aber nur
$x [mm] \notin [/mm] B$ und damit
[mm] $f_A(x)=1$ [/mm] und [mm] $f_B(x)=0$
[/mm]
gelten. Folglich ist auch
[mm] $(f_A+f_B)(x)=f_A(x)+f_B(x)=1+0=1\,,$
[/mm]
also gilt auch hier die behauptete Gleichheit.
Ist andererseits $x [mm] \in B\,,$ [/mm] so kann (analog) nur $x [mm] \notin [/mm] A$ und damit ...
gelten (die ... bekommst Du nun sicher auch ersetzt).
Das ganze habe ich nur mal kurz gemacht, damit Du vielleicht ein wenig
mehr demonstriert siehst.
P.S. Ich zeige Dir auch mal den kurz wie aus
[mm] $f_A \le f_B$
[/mm]
dann $A [mm] \subseteq [/mm] B$ folgt.
Gelte
[mm] $f_A \le f_B\,,$
[/mm]
also
[mm] $f_A(x) \le f_B(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in U\,.$
[/mm]
Wir haben zu zeigen, dass dann gilt:
Für alle $x [mm] \in [/mm] A$ folgt $x [mm] \in B\,.$
[/mm]
Sei also $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $f_A(x)=1\,.$ [/mm] Wegen [mm] $f_A \le f_B$ [/mm] muss dann [mm] $f_A(x)=1 \le f_B(x) \le [/mm] 1$
gelten [mm] ($f_B$ [/mm] kann ja nur Werte aus [mm] $\{0,1\}$ [/mm] annehmen). Also folgt [mm] $f_B(x)=1\,.$
[/mm]
Dies impliziert aber sodann $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Da $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war, folgt $A [mm] \subseteq B\,.$
[/mm]
(Um das Ganze noch ein wenig klarer zu machen: Wir haben oben etwa
gesehen, dass die Einschränkungen von [mm] $f_A$ [/mm] und [mm] $f_B$ [/mm] auf die Menge [mm] $A\,$
[/mm]
die gleichen Funktionen sind - dort haben wir nämlich die Funktion konstant [mm] $1\,.$
[/mm]
Du kannst Dir sofort klarmachen, dass auf $U [mm] \setminus [/mm] B$ die Funktionen [mm] $f_A$ [/mm] und [mm] $f_B$ [/mm]
identisch Null sind. Und nur für $x [mm] \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A$ (sofern diese Menge nicht leer ist)
wird [mm] $f_B(x)=1 \ge f_A(x)=0$ [/mm] sein. Anderes ist für [mm] $f_A \le f_B$ [/mm] nicht möglich...)
Um nun auch
$A [mm] \subseteq [/mm] B$ [mm] $\Longrightarrow$ $f_A \le f_B$
[/mm]
einzusehen, kannst Du durchaus mal einen Beweis per Kontraposition
führen. (Beachte aber, dass "nicht [mm] $f_A \le f_B$" [/mm] keineswegs äquivalent zu [mm] $f_A [/mm] > [mm] f_B$ [/mm] ist!)
Wir setzen dann voraus, dass nicht [mm] $f_A \le f_B$ [/mm] wäre. Dann gibt es ein [mm] $x_0 \in [/mm] U$ mit
[mm] $f_A(x_0) [/mm] > [mm] f_B(x_0)\,.$
[/mm]
Wieso folgt damit dann [mm] $x_0 \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B$ und wieso impliziert das dann die
Falschheit von $A [mm] \subseteq [/mm] B$?
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | | [mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] = [mm] f_A(x)f_B(x) [/mm] |
Danke euch beiden schonmal für die Ansätze. Marcel, danke auch dir. So ist es schon okay, eine Lösung wollte ich hier ja sowieso nicht, bringt mir ja nicht viel, wenn mir jemand meine Aufgaben macht und ich das im Nachhinein trotzdem nicht drauf habe.
Ich versuche mal eine Lösung zu 1a) zu formulieren, mit Rücksicht auf eure Ansätze, vielleicht klappt es ja beim ersten Versuch. :)
[mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] = [mm] f_A(x)f_B(x)
[/mm]
sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, dann: [mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] = 1.
Da aus x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B folgt: x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B, folgt auch:
[mm] f_A(x) [/mm] = 1 und [mm] f_B(x) [/mm] = 1.
Zusammengefasst:
[mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] = 1
[mm] f_A(x)f_B(x) [/mm] = 1
Somit ist die Gleichheit bewiesen.
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Hallo,
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
> Danke euch beiden schonmal für die Ansätze. Marcel,
> danke auch dir. So ist es schon okay, eine Lösung wollte
> ich hier ja sowieso nicht, bringt mir ja nicht viel, wenn
> mir jemand meine Aufgaben macht und ich das im Nachhinein
> trotzdem nicht drauf habe.
>
> Ich versuche mal eine Lösung zu 1a) zu formulieren, mit
> Rücksicht auf eure Ansätze, vielleicht klappt es ja beim
> ersten Versuch. :)
>
> zu zeigen: [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
> dazu sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B, dann: [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da aus x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B folgt: x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, folgt
> auch:
> [mm]f_A(x)[/mm] = 1 und [mm]f_B(x)[/mm] = 1.
>
> Zusammengefasst:
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1
> [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm] = 1
>
> Somit ist die Gleichheit bewiesen.
Aber nur für alle [mm]x\in A\cap B[/mm]
Was ist mit den [mm]x\notin A\cap B[/mm] ?
Das musst du noch ergänzen ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Do 19.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
> Danke euch beiden schonmal für die Ansätze. Marcel,
> danke auch dir. So ist es schon okay, eine Lösung wollte
> ich hier ja sowieso nicht, bringt mir ja nicht viel, wenn
> mir jemand meine Aufgaben macht und ich das im Nachhinein
> trotzdem nicht drauf habe.
>
> Ich versuche mal eine Lösung zu 1a) zu formulieren, mit
> Rücksicht auf eure Ansätze, vielleicht klappt es ja beim
> ersten Versuch. :)
>
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
> sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B, dann: [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1.
>
> Da aus x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B folgt: x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, folgt
> auch:
> [mm]f_A(x)[/mm] = 1 und [mm]f_B(x)[/mm] = 1.
>
> Zusammengefasst:
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1
> [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 1
>
> Somit ist die Gleichheit bewiesen.
Schachuzipus hat es ja schon gesagt: Bisher hast Du nur
$\left.f_{A \cap B}\right|_{A \cap B}$ $=\,$ $\left. (f_A \cdot f_B)\right|_{A \cap B}$
gezeigt. (Etwas lesbarer: Mit $g:=f_{A \cap B}$ und $h:=f_A \cdot f_B$ hast Du
$\left.g\right|_{A \cap B}$ $=\,$ $\left.h\right|_{A \cap B}$
bewiesen.)
Es ist aber
$f_{A \cap B}$ (bzw. $g\,$)
und auch
$f_A \cdot f_B$ (bzw. $h\,$)
(jeweils) eine Funktion
$\red{U} \to \{0,1\}\,.$
Du musst also auch noch etwas für $x \in U \setminus (A \cap B)$ nachweisen (so,
wie ich es auch an einem anderen Beispiel demonstriert habe).
Das Ganze auch nur als Mitteilung, weil ich das, was Schachuzipus gesagt
hat, i.W. nur etwas ausführlicher ergänzt habe!
P.S. Erinnerung:
Funktionen $f \colon A \to B$ und $g \colon C \to D$ heißen gleich, falls
$A=C\,,$ $B=D\,$ und für alle $x \in \red{\;A}$ zudem $f(x)=g(x)\,$
gilt. (Wobei es hier durchaus auch andere Definitionen gibt, insbesondere,
was die Bedingung an den Zielbereich betrifft. Falls ihr nicht diese oder
eine dazu äquivalente Definition habt, dann zitiere bitte die Eure!)
Gruß,
Marcel
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$ [mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] $ = $ [mm] f_A(x)f_B(x) [/mm] $
FALL 1: sei x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \cap [/mm] $ B, dann: $ [mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] $ = 1.
Da aus x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \cap [/mm] $ B folgt: x $ [mm] \in [/mm] $ A und x $ [mm] \in [/mm] $ B, folgt auch:
$ [mm] f_A(x) [/mm] $ = 1 und $ [mm] f_B(x) [/mm] $ = 1.
Zusammengefasst:
$ [mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] $ = 1
$ [mm] f_A(x)f_B(x) [/mm] $ = 1
FALL 2: sei x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B bzw. x [mm] \in U\A \cap [/mm] B, daraus folgt: x [mm] \not\in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B.
Also: $ [mm] f_A_\cap_B(x) [/mm] $ = 0
$ [mm] f_A(x)f_B(x) [/mm] $ = 0 * 0 = 0
Aufgabe b) [mm] f_A_\setminus_B(x) [/mm] = [mm] f_A(x) [/mm] - [mm] f_A(x)f_B(x)
[/mm]
Ist keine charakteristische Funktion. Dadurch, dass x [mm] \in [/mm] A, jedoch x [mm] \not\in [/mm] B gilt und die Multiplikation mit [mm] f_B(x) [/mm] gilt, bekommt - im Fall x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B bzw. x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B - die Funktion [mm] f_A_\setminus_B(x) [/mm] den Wert 1 und [mm] f_A(x) [/mm] - [mm] f_A(x)f_B(x) [/mm] den Wert 0, es folgt eine Ungleichheit.
Aufgabe d) Zeigen Sie, dass [mm] f_A \cup f_B [/mm] keine charakteristische Funktion ist, wenn A [mm] \ne [/mm] B.
Unter [mm] f_A \cup f_B [/mm] sei x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B. Somit müsste das x in A und B liegen, um den Wert 1 zu gewähren. Wenn nun A [mm] \ne [/mm] B gilt, dann gibt es kein x das gleichzeit ein Element von A und von B ist.
Ich hoffe ich war jetzt bei den Aufgaben nicht auf dem Holzweg. Ich danke euch schonmal für die bisher geleistete Hilfe. 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
> FALL 1: sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B, dann: [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1.
>
> Da aus x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B folgt: x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, folgt
> auch:
> [mm]f_A(x)[/mm] = 1 und [mm]f_B(x)[/mm] = 1.
>
> Zusammengefasst:
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1
> [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm] = 1
>
> FALL 2: sei x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B bzw. x [mm]\in U\A \cap[/mm] B,
wenn man den Quelltext anguckt, sieht man, dass Du da
$x [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
geschrieben hast. Da fehlen Klammern:
$x [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus \red{(}A \cap B\red{)}\,.$
[/mm]
> daraus folgt: x [mm]\not\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B.
>
> Also: [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 0
> [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm] = 0 * 0 = 0
Genau, wobei hier, wenn man hinguckt, erkennbar ist, dass
[mm] $f_A(x)*f_B(x)$
[/mm]
schon wegen $x [mm] \notin [/mm] B$ stets 0 ist. Aber Du hast halt ein wenig
ausführlicher argumentiert.
> Aufgabe b) [mm]f_A_\setminus_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)[/mm] - [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
Mal nebenbei: Du kannst auch einfach
[mm] [nomm]$f_{A \setminus B}$[/nomm]
[/mm]
schreiben (Untenstehendes in geschweifte Klammern zusammenfassen!)
> Ist keine charakteristische Funktion. Dadurch, dass x [mm]\in[/mm]
> A, jedoch x [mm]\not\in[/mm] B gilt und die Multiplikation mit
> [mm]f_B(x)[/mm] gilt, bekommt - im Fall x [mm]\in[/mm] A [mm]\setminus[/mm] B bzw. x
> [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B - die Funktion [mm]f_A_\setminus_B(x)[/mm] den
> Wert 1 und [mm]f_A(x)[/mm] - [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm] den Wert 0, es folgt eine
> Ungleichheit.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Für die Funktion
[mm] $f_{A \setminus B} \colon [/mm] U [mm] \to \{0,1\}$
[/mm]
betrachte die Fälle:
1. $x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B$
2. $x [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B)=U [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap B^c)^c=U \cap (A^c \cup [/mm] B)=(U [mm] \cap A^c) \cup [/mm] (U [mm] \cap [/mm] B)=(U [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup B\,.$
[/mm]
Im Falle 1. hat die Funktion den Wert 1, im Falle 2. den Wert 0. Weiter:
Im Falle 1. gilt
[mm] $f_A(x)-f_A(x)f_B(x)=1-1*0=...$?
[/mm]
Im Falle 2. gilt
[mm] $f_A(x)-f_A(x)*f_B(x)=0-0*1=...$?
[/mm]
Und damit ist die Gleichheit gezeigt. (Nebenbei: Nur, weil eine Gleichheit
nicht gilt, heißt das ja noch nicht, dass da nicht doch eine charakteristische
Funktion steht. Es zeigt höchstens, dass die eine Seite nicht die behauptete
charakteristische Funktion der anderen Seite ist!)
> Aufgabe d) Zeigen Sie, dass [mm]f_A \cup f_B[/mm] keine
> charakteristische Funktion ist, wenn A [mm]\ne[/mm] B.
Rückfrage: Wie habt ihr die Funktion
[mm] $f_A \cup f_B$
[/mm]
definiert?? (Evtl. [mm] $(f_A \cup f_B)(x)$ $=\,$ $\max\{f_A(x),\;f_B(x)\}$ [/mm] für alle $x [mm] \in U\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
> FALL 1: sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B, dann: [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1.
>
> Da aus x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B folgt: x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, folgt
> auch:
> [mm]f_A(x)[/mm] = 1 und [mm]f_B(x)[/mm] = 1.
>
> Zusammengefasst:
> [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 1
> [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm] = 1
>
> FALL 2: sei x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B bzw. x [mm]\in U\A \cap[/mm] B,
> daraus folgt: x [mm]\not\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B.
>
> Also: [mm]f_A_\cap_B(x)[/mm] = 0
> [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm] = 0 * 0 = 0
>
>
> Aufgabe b) [mm]f_A_\setminus_B(x)[/mm] = [mm]f_A(x)[/mm] - [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm]
> Ist keine charakteristische Funktion. Dadurch, dass x [mm]\in[/mm]
> A, jedoch x [mm]\not\in[/mm] B gilt und die Multiplikation mit
> [mm]f_B(x)[/mm] gilt, bekommt - im Fall x [mm]\in[/mm] A [mm]\setminus[/mm] B bzw. x
> [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B - die Funktion [mm]f_A_\setminus_B(x)[/mm] den
> Wert 1 und [mm]f_A(x)[/mm] - [mm]f_A(x)f_B(x)[/mm] den Wert 0, es folgt eine
> Ungleichheit.
>
> Aufgabe d) Zeigen Sie, dass [mm]f_A \cup f_B[/mm] keine
> charakteristische Funktion ist, wenn A [mm]\ne[/mm] B.
>
> Unter [mm]f_A \cup f_B[/mm] sei x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B. Somit müsste
> das x in A und B liegen, um den Wert 1 zu gewähren. Wenn
> nun A [mm]\ne[/mm] B gilt, dann gibt es kein x das gleichzeit ein
> Element von A und von B ist.
>
>
>
> Ich hoffe ich war jetzt bei den Aufgaben nicht auf dem
> Holzweg. Ich danke euch schonmal für die bisher geleistete
> Hilfe.
was ist mit Aufgabe c)? Selbst, wenn ich schon einiges dazu geschrieben
hatte, solltest Du es nochmal selbstständig aufschreiben und gucken bzw.
prüfen lassen, ob Du alles verstanden hast!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Wenn nun A [mm]\ne[/mm] B gilt, dann gibt es kein x das gleichzeit ein
> Element von A und von B ist.
das ist übrigens Quatsch: Ist [mm] $\blue{A} \not=\varnothing\,$ [/mm] echte Teilmenge von [mm] $\blue{B\,,}$ [/mm] so ist
$A [mm] \cap [/mm] B$ [mm] $\not=$ $\varnothing.$
[/mm]
Letztstehendes gilt auch im Falle, dass [mm] $\blue{B} \not=\varnothing\,$ [/mm] echte Teilmenge von [mm] $\blue{A}\,$ [/mm] ist.
Zudem kann auch sowohl $A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \not=\varnothing$ [/mm] und $B [mm] \setminus [/mm] A [mm] \not=\varnothing$ [/mm] gelten, obwohl
$A [mm] \cap [/mm] B$ [mm] $\not=$ $\varnothing.$
[/mm]
Beispiele:
(i) [mm] $A=\{1,\;2,\;3\}$ [/mm] und [mm] $B=\{2,\;3\}\,.$
[/mm]
(ii) [mm] $B=\{1,\;2,\;3\}$ [/mm] und [mm] $A=\{2,\;3\}\,.$
[/mm]
(iii) [mm] $A=\{1,\;2,\;3\}$ [/mm] und [mm] $B=\{2,\;3,\;4\}\,.$ [/mm]
In allen Fällen gilt $A [mm] \cap B=\{2,\;3\}\,,$ [/mm] obwohl $A [mm] \not=B\,.$
[/mm]
P.S. Mach Dir das auch mal an Venndiagrammen klar!
Gruß,
Marcel
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