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| Aufgabe | Zu jeder Teilmenge A einer Menge definiert man die charakteristische Funktion von A, [mm] X_A [/mm] : M [mm] \to [/mm] {0,1}, durch
[mm] X_A(x) :=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x\in A \\ 0, & \mbox{sonst. }\end{cases}
[/mm]
(a) Man zeige, dass X : [mm] \mathcal{P}(M) \to \{0,1\}^{M} [/mm] , M [mm] \supset [/mm] A [mm] \mapsto X_A [/mm] eine Bijektion ist.
(b) Berechnen Sie [mm] |\mathcal{P}(M)|, [/mm] falls |M| = [mm] n\in\IN [/mm] ist. |
Hallo! 
Das Thema "Charakteristische Funktion" wurde in der Vorlesung leider nicht besprochen und soll wohl anhand dieser Aufgabe selbst erlernt werden.
Im Internet konnte ich ähnliche Aufgaben nicht finden bzw. anhand der Definition einer "Charakteristischen Funktion" bin ich nicht in der Lage, diese Aufgabe zu berechnen.
Kann mir bitte jemand sagen, wie diese Aufgabe anzufangen ist?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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> Zu jeder Teilmenge A einer Menge definiert man die
> charakteristische Funktion von A, [mm]X_A[/mm] : M [mm]\to[/mm] {0,1}, durch
>
> [mm]X_A(x) :=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x\in A \\ 0, & \mbox{sonst. }\end{cases}[/mm]
>
> (a) Man zeige, dass X : [mm]\mathcal{P}(M) \to \{0,1\}^{M}[/mm] , M
> [mm]\supset[/mm] A [mm]\mapsto X_A[/mm] eine Bijektion ist.
>
> (b) Berechnen Sie [mm]|\mathcal{P}(M)|,[/mm] falls |M| = [mm]n\in\IN[/mm]
> ist.
> Hallo!
>
> Das Thema "Charakteristische Funktion" wurde in der
> Vorlesung leider nicht besprochen und soll wohl anhand
> dieser Aufgabe selbst erlernt werden.
Hallo,
was die Charakteristische Funktion [mm] X_A [/mm] einer Teilmenge A von M ist, wird ja in der Einleitung der Aufgabe definiert.
In Aufgabe a) wird dann eine Funktion X definiert, die wir uns jetzt genauer anschauen.
Definitionsbereich der Funktion X ist die Potenzmenge von M, [mm] \mathcal{P}(M), [/mm] welche sämtliche Teilmengen von M enthält.
Was macht nun die Abbildung X?
Auch dies steht in der Aufgabe geschrieben:
X: [mm] \mathcal{P}(M)\to \{0,1\}^{M}
[/mm]
X (A):= [mm] X_A
[/mm]
Es wird also der Teilmenge A von M die Funktion [mm] X_A [/mm] zugeordnet.
Wie wir in der Einleitung gesehen haben, ist [mm] X_A [/mm] eine Funktion, welche aus der Menge M in die Menge [mm] \{0,1\} [/mm] abbildet.
Dies ist mit [mm] \{0,1\}^{M} [/mm] gemeint.
Soweit die Vorrede - und dies sind die Dinge, die man vor Bearbeitung der Aufgabe selbständig, ggf. mit Nachschlagen, herausfinden muß, und was zum gründlichen Lesen der Aufgabenstellung dazugehört.
Nun erst geht's an die eigentliche Aufgabe (a):
Man soll zeigen, daß die Abbildung X bijektiv ist.
Dh: zu zeigen ist: zu jeder Funktion f aus [mm] \{0,1\}^{M} [/mm] findet man ein Element [mm] A\in \mathcal{P}(M) [/mm] mit X(A)=f.
Deine Aufgabe ist nun, zu [mm] f\in \{0,1\}^{M} [/mm] eine passende Menge A zu finden (definieren), und vorzumachen, daß diese Wirklich vermöge X auf f abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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