Charakteristisches Polynom < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, also mir ist bekannt was die geometrische Vielfachheit und die algebraische aussagt.Allerdings möchte ich jetzt mit diesen Kriterien aussagen über die Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit treffen können.Was kann ich sagen wenn geo. und alge. Vielfachheit gleich sind?Und ich möchte wissen ob eine quadratische Matrix ein Endomorphismus ist.bzw ob die Dimension der Matrix immer gleich n ist ( bei nxn ) oder ob der Rang auch geringer als n ausfallen kann. Muss dann die Basis von den Eigenvektoren erzeugt min die Dimension n haben?also die Eigenvektoren zu den Eigenwerten beim charakteristischen Polynom.
Hoffe die Fragen sind nicht zu wüst sortiert.
|
|
| |
|
> Hallo, also mir ist bekannt was die geometrische
> Vielfachheit und die algebraische aussagt.Allerdings
> möchte ich jetzt mit diesen Kriterien aussagen über die
> Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit treffen
> können.Was kann ich sagen wenn geo. und alge. Vielfachheit
> gleich sind?
Hallo,
dann ist die Matrix diagonalisierbar.
> Und ich möchte wissen ob eine quadratische
> Matrix ein Endomorphismus ist.bzw ob die Dimension der
> Matrix immer gleich n ist ( bei nxn )
Wenn Du einen Endomaorphismus eines VRes der Dimension n hast, ist die darstellende Matrix eine nxn-Matrix.
> oder ob der Rang auch
> geringer als n ausfallen kann.
Ja, wenn der Endomorphismus nicht surjektiv (=nicht injektiv =nicht bijektiv) ist,
> Muss dann die Basis von den
> Eigenvektoren erzeugt min die Dimension n haben?
Eine nxn-Matrix stellt eine Abbildung eines n-dimensionalen VRes V in sich da.
Im Falle der Diagonalisierbarkeit gibt es eine Basis des Raumes V, welche aus Eigenvektoren besteht. Natürlich hat diese Basis n Elemente.
> also die
> Eigenvektoren zu den Eigenwerten beim charakteristischen
> Polynom.
> Hoffe die Fragen sind nicht zu wüst sortiert.
Ich hoffe, ich habe richtig verstanden, was Du wissen wolltest.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ja das hat mir soweit geholfen :) wie ist das mit trigonalisierbar? wenn das ganze Polynom in Linearfaktoren zerfällt? aber wie überprüffe ich das ? wenn ich nen Polynom der Form x³ + 5x² +20x + 5 z.b habe. Also woher weiss ich ob es komplett in Linearfaktoren zu zerlegen ist? weiss ja höchstens die Nullstellen mit Polynomdivison und kann mir daraus dann nen Term der Form (x - Ns1) * (x - Ns2) * (x-Ns3) bilden. Gibt der Grad des Polynoms eigentlich immer die Anzahl der Nullstellen wieder? bzw hat nen Polynom des Grades n immer ne nxn Darstellungsmatrix?
Wieder Fragen über Fragen , ich weiss :D
|
|
|
| |
|
>wie ist das mit
> trigonalisierbar? wenn das ganze Polynom in Linearfaktoren
> zerfällt?
Hallo,
ja, genau.
> aber wie überprüffe ich das ? wenn ich nen
> Polynom der Form x³ + 5x² +20x + 5 z.b habe. Also woher
> weiss ich ob es komplett in Linearfaktoren zu zerlegen ist?
Wenn Du in [mm] \IC [/mm] rechnest, ist es potteinfach: über [mm] \IC [/mm] zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren.
Über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] mußt Du halt die Nullstellen suchen.
> weiss ja höchstens die Nullstellen mit Polynomdivison und
> kann mir daraus dann nen Term der Form (x - Ns1) * (x -
> Ns2) * (x-Ns3) bilden. Gibt der Grad des Polynoms
> eigentlich immer die Anzahl der Nullstellen wieder?
Über [mm] \IC [/mm] ja, wobei die Nullstellen nicht unbedingt verschieden sein müssen.
Über [mm] \IR [/mm] gibt der Grad des Polynoms die maximale Anzahl von Nullstellen.
> bzw hat
> nen Polynom des Grades n immer ne nxn Darstellungsmatrix?
Das charakteristische Polynom einer nxn-Matrix hat immer den Grad n.
Gruß v. Angela
>
> Wieder Fragen über Fragen , ich weiss :D
|
|
|
| |
|
also wenn ich in /IR rechne, einfach die Nullstellen bestimmten und dann die faktorisierte Form von (x-Ns1) * .... und so weiter wenn ich 3 Nullstellen raushabe und das ganze in dieser Form mit 3 Klammern schreibe, dann ist es komplett faktorisierbar?
|
|
|
| |
|
Hallo MathTrivial,
> also wenn ich in /IR rechne, einfach die Nullstellen
> bestimmten und dann die faktorisierte Form von (x-Ns1) *
> .... und so weiter wenn ich 3 Nullstellen raushabe und das
> ganze in dieser Form mit 3 Klammern schreibe, dann ist es
> komplett faktorisierbar?
Wenn das charakteristische Polynom vom Grad 3 ist, dann ja!
Du brauchst für eine vollst. Faktorisierung (in Linearfaktoren) des char. Polynoms soviele Linearfaktoren - respektive Nullstellen - (nicht notwendigerweise verschiedene) wie der Grad des Polynoms ist.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
ja geil danke, das wollte ich wissen =) herzlichen Dank für´s schnelle antworten !
|
|
|
|
