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| Aufgabe | Man zeige durch Einsetzen der Reihendarstellung und Verwendung des Cauchy Produkts die Funktionalgleichung:
sin 2x = 2 sinx cosx |
Hallo zusammen!
Also ich glaub dass ich zeigen soll:
[mm] \summe_{l=0}^{\infty}(-1)^l \bruch{(2x)^{l+1}}{(2l+1)!} [/mm] = [mm] 2\* \left(
\summe_{l=0}^{\infty}(-1)^l \bruch{x^{l+1}}{(2l+1)!} \right) \* \left(
\summe_{l=0}^{\infty}(-1)^l \bruch{x^{2l}}{(2l)!} \right) [/mm]
Nur versteh ich leider nicht ganz wie ich das mit dem Chauchy Produkt machen soll und hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.
Grüße Patrick
Ps.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ein Produkt wird ja nach dem Distributivgesetz ("jeder mit jedem") ausmultipliziert:
[mm]2 \left( \sum_{l=0}^{\infty}~(-1)^l \frac{x^{2l+1}}{(2l+1)!} \right) \cdot \left( \sum_{l=0}^{\infty}~(-1)^l \frac{x^{2l}}{(2l)!} \right) = 2 \sum_{l,m=0}^{\infty}~(-1)^{l+m} \frac{x^{2(l+m)+1}}{(2l+1)! \, (2m)!}[/mm]
Um nun wieder eine Potenzreihe zu bekommen, werden die Glieder mit der gleichen Potenz [mm] x^{2(l+m)+1} = x^{2n+1}[/mm] zusammengefaßt. Diese Art der Zusammenfassung nennt man Cauchy-Produkt.
Beispiel: [mm]n = 2, \ 2n+1 = 5[/mm]
Das gibt die Paare [mm]l = 0, m=2 ; \ l = 1, m = 1 ; \ l = 2, m = 0[/mm]
Dann geht es oben weiter:
[mm]= 2 \sum_{n=0}^{\infty}~\sum_{l+m=n}~(-1)^{l+m} \frac{x^{2(l+m)+1}}{(2l+1)! \, (2m)!} = 2 \sum_{n=0}^{\infty}~\sum_{l+m=n}~(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2l+1)! \, (2m)!} = 2 \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^n \left( \sum_{l+m=n}~\frac{1}{(2l+1)! \, (2m)!} \right) x^{2n+1}[/mm]
Wenn man jetzt zeigen könnte, daß
(*) [mm]\sum_{l+m=n}~\frac{1}{(2l+1)! \, (2m)!} = \frac{4^n}{(2n+1)!}[/mm]
gilt, ginge die Rechnung so zu Ende:
[mm]= 2 \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^n \frac{4^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Und das wäre es gewesen.
Es verbleibt also nur der Nachweis von (*). Und das kann in eine Beziehung für Binomialkoeffizienten umgewandelt werden. Um nicht gleich alles zu verraten, nur so viel:
Addiere im Pascalschen Dreieck bei den ungeraden Zeilennummern jedes zweite Element:
1 1 -> 1
1 3 3 1 -> 4
1 5 10 10 5 1 -> 16
1 7 21 35 35 21 7 1 -> 64
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Erstmal Danke für die schnelle antwort!
Leider komm ich nicht ganz drauf wie du:
[mm] \summe_{l+m=n}^{} \bruch{1}{(2l+1)!(2m)!} [/mm] = [mm] \bruch{4^n}{(2n+1)!} [/mm]
mit dem Binomnialkoeffizienten in zusammenhang bringst...
Wenn ich die zweiten Ziffern in den ungeraden Zeilen des pascalschen Dreiecks addiere bekomm ich ja [mm] "4^n" [/mm] , allerdings schaff ich es nicht das mit dem Binomnialkoeffizienten auszudrücken.
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[mm]\sum_{l+m=n}~\frac{(2n+1)!}{(2l+1)! \, (2m)!} = \sum_{l=0}^n~\frac{(2n+1)!}{(2l+1)! \, (2n-2l)!} = \sum_{l=0}^n~{{2n+1} \choose {2l+1}}[/mm]
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Ok danke damit hab ichs verstanden
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