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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Leiten Sie die Dichtefunktion er $ \chi^{2}(1) $-Verteilung aus Kenntnis der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung her.
Tipp: $ X=Z^{2} $ ist für standardnormalverteiltes Z chi-quadrat-verteilt mit $ m=1 $. Verwenden Sie nun $ P(X \le x)=P(Z^{2} \le x}) $ um die Verteilungsfunktion von X durch jene von Z auszudrücken. |
Hallo zusammen
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Möglicherweise ist ja mit dem Tipp der Lösungsweg schon recht gut beschrieben, aber ich druchblicke es im Moment einfach (noch) nicht.
Die Verteilungsfunktion von X ist ja so wie ich das verstehe die normale Standardnormalfunktin $ P(X \le x) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{x}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt} $
Eigentlich ist mir ja schon klar, was die $ \chi^{2} $-Verteilung ist (zumindest im Zusammenhang mit diskreten Zufallsvariablen). Aber irgendwie finde ich nicht heraus, wie die Dichtefunktion der $ \chi^{2} $-Verteilung mit der Standardnormalfunktion zusammenhängt, ausser dass sie mit unendlich Freheitsgraden der Standardnormalfunktion entspricht.
Wer kann mir einen Tipp in die richtige Richtung geben? In meinem Script ist das ganze eben nur auf einer Seite kurz beschrieben und auch wenn die Lösung steht, möchte ich auch verstehen, was es damit auf sich hat  Und im Internet habe ich dann zwar herausgefunden, wie und was die $ \chi^{2} $-Test genau ist und wie er mit der Verteilung zusammenhängt, aber nicht, wie die Dichtefunktion von der Standardnormalfunktion abgeleitet werden könnte...
Vielen Dank und Gruess
Lukas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Sa 19.03.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
nicht $X$ sondern $Z$ ist snv. Deshalb ist [mm] $Z^2$ [/mm] chi quadrat verteilt.
Ich kann dir sagen, wie man die Dichte mit Hilfe von Variablentransformation herleiten kann. Sagt dir das was?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Sa 19.03.2011 | | Autor: | lumosimann |
Hallo
Ich hoffe, da sollte ich mitkommen. Hab ich schon ein paar Mal gesehen, aber im bisherigen Stoff ist das mW so nicht enthalten. Deshalb frage ich mich, ob es nicht eine andere Variante gibt?!
Vielen Dank auf jeden Fall für deine Mühen.
Viele Grüsse
Lukas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.
[mm] $f_X(x)=\frac [/mm] d{dx} [mm] F_X(x)$
[/mm]
Die Verteilungsfunktion von X ist nach Definition
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] P(X\leq [/mm] x)$
Wenn Du [mm] $F_X(x)$ [/mm] jetzt durch [mm] $F_Z(x)$, [/mm] d.h. die Vtlgsfkt der Standartnormalverteilung, ausdrücken kannst, dann mußt Du das Ergebnis nur noch ableiten.
Und hier kommt [mm] $P(X\leq x)=P(Z^2\leq [/mm] x)$ ins Spiel. Wann ist denn [mm] $Z^2\leq [/mm] x$, wenn Z....
ciao
Stefan
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Stefan
Vielen Dank für deine Antwort. So habe ich schon einmal herausgefunden, wie ich da vorgehe:
Vtlgfkt der Standardnormalverteilung:
$ P(X \le x) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{x}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt} $
Mit $ x=z^2 $
$ P(Z^2 \le x) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt} $
Und dies noch ableiten, um daraus die Dichtefunktion zu erhalten:
$ f(z) = \bruch{d}{dz} (\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt}) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi } \wurzel{z}}}e^{-\bruch{z}{2}} = \chi^{2}(1) $
Nun verstehe ich aber noch nicht: Lässt sich der letzte Schritt - die Ableitung - nur numerisch lösen? Oder gibt es eine "sinnvolle" Variante, das von Hand zu machen?
Vermutlich muss ich da irgendwie einen Umweg über die Fehlerfunktion machen? Oder ist das sinnlos, von Hand zu berechnen?
Genügt es, zur Beschreibung des Vorgehens einfach zu schreiben, dass $ x=z^{2} $ aus der Definition der $ \chi^{2} $-Verteilung gefolgert werden kann oder ist das eine falsche Folgerung (klar, es steht in der Aufgabe, aber das ist ja nicht DIE Begründung)?
Danke für deine Hilfe.
Gruess
Lukas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 So 20.03.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
achtung du musst beachten:
[mm]P(Z^2 \le x) = P(-\sqrt{x} \le Z \le \sqrt{x}) [/mm]
gruß
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo
Stimmt, da hat sich sowieso noch ein Fehler eingeschlichen, deshalb ist mir das auch nciht aufgefallen 
So sollte es stimmen:
Vtlgfkt der Standardnormalverteilung:
$ P(X \le x) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{x}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt} $
Mit $ x=z^2 $
$ P(Z^2 \le x) = P(-\wurzel{x} \le Z \le \wurzel{x}) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt - \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{-\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt} = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\wurzel{z}}^{\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt $
Und dies noch ableiten, um daraus die Dichtefunktion zu erhalten:
$ f(z) = \bruch{d}{dz} (\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\wurzel{z}}^{\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt}) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi } \wurzel{z}}}e^{-\bruch{z}{2}} = \chi^{2}(1) $
Die Unklarheiten bleiben aber trotzdem:
> Nun verstehe ich aber noch nicht: Lässt sich der letzte Schritt - die Ableitung - nur numerisch lösen? Oder gibt es eine "sinnvolle" Variante, das von Hand zu machen?
> Vermutlich muss ich da irgendwie einen Umweg über die Fehlerfunktion machen? Oder ist das sinnlos, von Hand zu berechnen?
Hier ist nun zwar klar, dass
$ P(Z^2 \le x) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\wurzel{z}}^{\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt}=\bruch{2}{\wurzel{2\pi}} \integral_{0}^{\wurzel{z}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt} $ (Symmetrie)
Aber wie soll ich das ableiten?
> Genügt es, zur Beschreibung des Vorgehens einfach zu schreiben, dass $ x=z^{2} $ aus der Definition der $ \chi^{2} $-Verteilung gefolgert werden kann oder ist das eine falsche Folgerung (klar, es steht in der Aufgabe, aber das ist ja nicht DIE Begründung)?
Und das bleibt auch noch offen ... :-(
Viele Grüsse
Lukas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 22.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 20.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Mit $ [mm] x=z^2 [/mm] $
Wenn [mm] $x=z^2$, [/mm] wo kommt dann das [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] her? Entweder oder.
[mm] $P(Z^2\leq [/mm] x) = [mm] P(-\sqrt{x} \leq [/mm] Z [mm] \leq \sqrt{x})$
[/mm]
oder
[mm] $P(Z^2\leq z^2) [/mm] = P(-z [mm] \leq [/mm] Z [mm] \leq [/mm] z)$
Integrale und Abl:
[mm] $\frac d{dx}\int_a^x [/mm] f(x)\ dx = [mm] \frac [/mm] d{dx} F(x)-F(a)=f(x)$
ciao
Stefan
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Stefan
Dein Einwand verstehe ich, aber ich weiss jetzt nicht genau, wie ich den behebe, damit ich der Aufgabenstellung auch mit den Bezeichnungen (Z/X) nachkomme. Kannst du mal drüber schauen, ob das mit diesen Buchstaben auch der Aufgabe entspricht und nun Sinn macht?
Verstehe ich es richtig, dass gem. Aufgabenstellung Z standardnormalverteilt ist und $ Z^{2} $ bzw. X somit $ \chi^{2}(1) $-verteilt?
Dann wäre die erste Zeile:
$ P(Z \le x) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\infty}^{x}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt} $
In der zweiten Zeile wäre dann
$P(X \le x)=P(Z^{2}\le x)=P(-\wurzel{x} \le Z \le \wurzel{x}) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{-\wurzel{x}}^{\wurzel{x}}{e^{-\bruch{t^2}{2}}} dt $.
Und das abgeleitet gibt dann halt eben - einfach mit anderen Buchstaben:
$ f(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi } \wurzel{x}}}e^{-\bruch{x}{2}} = \chi^{2}(1) $
Zu der Ableitung am Schluss noch: Das ist mittlerweile klar - ist ja mehr oder weniger einfach der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Aber warum ist
$ \frac d{dx} (\integral_{0}^{\wurzel{x}}{f(x) dx}) = \bruch{1}{2\wurzel{x}}f(\wurzel{x})$
Wie kommt genau dieser Faktor $\bruch{1}{2\wurzel{x}} zustande? Wenn ich das verstehe, dann kann ich die Ableitung nachvollziehen, aber ich habs auch nach einer Stunde noch nicht hingebracht..
Danke für deine Geduld ...
Viele Grüsse
Lukas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 20.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wie kommt genau dieser Faktor $ [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] $ zustande?
Kettenregel
[mm] $\frac [/mm] d{dx} [mm] F(\sqrt{x}) [/mm] = [mm] f(\sqrt{x})*\frac [/mm] d{dx} [mm] \sqrt{x}$
[/mm]
Sonst stimmt alles.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 So 20.03.2011 | | Autor: | lumosimann |
Hallo Stefan
Stimmt, wäre eigentlich ganz simpel Vielen Dank für deine Bemühungen.
Viele Grüsse
Lukas
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