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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:16 So 26.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo nochmals!
So, und nun die allerletzte Aufgabe! Los geht's:
Finde alle Funktionen [mm] $f:[1,\infty )\to [1,\infty [/mm] )$, die den folgenden Bedingungen genügen:
[mm] $f(x)\leq [/mm] 2(x+1)$
[mm] $f(x+1)=\frac{1}{x}\cdot\left( f^2(x)-1\right)$
[/mm]
Liebe Grüße und nun viel Spaß beim Rechnen! Ich hoffe auf rege Teilnahme 
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Fr 04.02.2005 | | Autor: | g3mini |
Hallo:
[mm]
f'(x) = f'(x+1) = 1/x^2 (1-f^2(x)) +2/xf'(x)\\
\Rightarrow \frac{f'(x)}{1-f^2(x)} = \frac{1}{x^2-2x}
[/mm]
Lösen der DGL ergibt:
[mm]
f(x) = \frac{2}{(x-2)x^{-1}c-1}+1
[/mm]
c ist dann über die zwei gegebenen Bedingungen zu suchen...(könnte ja jemand anders machen (-; )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, das kann man so nicht machen. Erstens stimmen die Gleichungen zum Teil nicht, zweitens steht nirgendswo geschrieben, dass differenzierbare Funktionen gesucht sind.
Aber trotzdem Danke für den Versuch!
Viele Grüße
Stefan
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Hi,
hier mein Versuch:
Eine Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, ist die Nachfolgerfunktion f(x) = x+1:
1. f(x) = x+1 < x+1 + x+1 = 2(x+1) [mm] \forall x\ge [/mm] 1
2. [mm] \bruch{1}{x}(f^{2}(x)-1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}(x^{2}+2x+1-1) [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}+2x}{x} [/mm] = x+2 = f(x+1)
Außerdem bildet die Funktion den Definitionsbereich auf [mm] [2;\infty) \subset [1;\infty) [/mm] ab.
Nun muss ich natürlich zeigen, dass es keine andere Funktion g dieser Art gibt. Dies tu ich, indem ich die Rekursion ausnutze, die dazu führt, dass eine kleine Abweichung von der Nachfolgerfunktion an einer Stelle zu immer größeren Abweichungen an späteren Stellen führt, so dass am Ende entweder Werte g(x)<1 oder g(x)>2(x+1) auftauchen.
Sei also an einer Stelle [mm] a\in [1;\infty) [/mm] der Funktionswert g(a) = [mm] f(a)+\varepsilon (\varepsilon>0).
[/mm]
Dann gilt:
g(a+1) = [mm] \bruch{1}{a}(g^{2}(a)-1) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{a}((f(a)+\varepsilon)^{2}-1) [/mm]
= [mm] bruch{1}{a}((f^{2}(a)+2f(a)\varepsilon+\varepsilon^{2}-1) [/mm]
= [mm] bruch{1}{a}(a^{2}+2a+1+2a\varepsilon+2\varepsilon+\varepsilon^{2}-1) [/mm]
= [mm] a+2+2\varepsilon+2\bruch{\varepsilon}{a}+\bruch{\varepsilon^{2}}{a} [/mm]
> [mm] f(a+1)+2\varepsilon
[/mm]
Man sieht, dass sich die Abweichung bei Addition von 1 immer mindestens verdoppelt. Durch das exponentielle Wachstum dieser Abweichung würde die Bedingung g(x) [mm] \le [/mm] 2(x+1) (nur linear) für ein genügend großes x verletzt (das ohne Beweis...)
Analoges gilt, falls g(a) = [mm] f(a)[b]-\varepsilon[/b]. [/mm] Dann wird irgendwann die Bedingung g(x) [mm] \ge [/mm] 1 verletzt.
Also ist die Nachfolgerfunktion die einzige Funktion mit obigen Eigenschaften.
MfG
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Martin!
Ein wenig unsauber ist es schon, aber ich glaube, dass die Grundidee die richtige ist. Auch wenn es nicht so schön ist, das hier ein wenig abzuwürgen, so stufe ich in der Annahme, dass deine Ausführungen nach einer formelleren Beschreibung zum Ziel führen, diese Aufgabe als gelöst ein.
Schön!
Liebe Grüße,
Hanno
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