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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
| Aufgabe | Sei $A$ ein kommutativer Ring und [mm] $\mathfrak{a}_{1},\dots,\mathfrak{a}_{n}$ [/mm] Ideale mit [mm] $\mathfrak{a}_{1}+\dots+\mathfrak{a}_{n}=A$. [/mm] Seien [mm] $k_{i}\in\mathbb{N}$ [/mm] für [mm] $i=1,\dots,n$ [/mm] beliebig. Dann gilt:
[mm] $\mathfrak{a}_{1}^{k_{1}}+\dots+\mathfrak{a}_{n}^{k_{n}}=A$. [/mm] |
Angeblich soll diese Aussage direkt aus dem Chinesischen Restsatz folgen oder analog zu beweisen gehen, aber irgendwie sehe ich das nicht. Könnt ihr mir weiterhelfen?
Viele Grüße,
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Do 29.06.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo Jan,
das folgt tatsächlich aus der komm. algebra Fassung des chinesischen Rastsatzes, aber wenn ich mich nicht irre, braucht man es auch um Ihn zu beweisen. Also hier der Beweis:
Es reicht offenbar den Exponenten an einem Ideal zu erhöhen. Die anderen Ideale können wir zu einem Ideal zusammenfassen und haben also noch die Aussage zu zeigen:
Seien [mm] I [/mm] und [mm] J [/mm] Ideale in A mit [mm] I+J =1 [/mm] und [mm]k [/mm] eine natürliche Zahl, dann folgt [mm] I^k+J=A [/mm].
Das rechnen wir wie Folgt nach: Aus [mm] I+J=1 [/mm] folgt, dass es [mm] i \in I,j\in J[/mm] gibt, so dass [mm] i+j=1 [/mm]. Dann gilt [mm] 1=(i+j)^k=i^k+j(...) [/mm] mit [mm] i^k \in I^k [/mm] und [mm] j(...) \in J [/mm]. Also ist die 1 in [mm] I^k+J [/mm] enthalten, also ist die Summe ganz A. qed
Grüße
Peter
p.s.: War das nicht mal eine Übungsaufgabe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Do 29.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Lässt sich das auch für Ringe ohne Einselement hinbiegen?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Do 29.06.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo Hanno,
ich denke nicht, dass die Aussage im Allgemeinen für Ringe A ohne Eins gilt. Dann muss nämlich nicht gelten: [mm] A=A^2 [/mm] und damit wäre die Aussage schon für ein Ideal falsch. Wenn wir einen Ring ohne Eins haben, für den aber obige Aussage gilt, dann sllte man einen analogen Beweis führen können.
Ein Beispiel für solche Ringe, dass mir tatsächlich mal "in der Praxis" begegnet ist, ist eine Vereinigung von unendlich vielen Ringen mit Eins, wobei aber die Einbettungen nur Rinhomomorphismen ohne Eins sein müssen. (Das trat auf, bei der verallgemeinerten Heckealgebra i.e. "ohne" Level)
Grüße
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Do 29.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Vielen Dank, Peter!
Ich glaube, ich habe es hier mit meinem ehemaligen Algebra-Tutor zu tun, kann das sein? Tja, so klein ist die Welt 
Viele Grüße,
Jan
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