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| Aufgabe | Die sieben Zwerge feiern Weihnachten, trinken Glühwein und haben sich Lebkuchen gebacken. Da sie immer so sozial eingestellt sind, beschliessen sie, diese gleichmäßig aufzuteilen, so daß jeder gleich viele bekommt. Als sie dies aber versuchen, merken sie, daß drei Lebkuchen übrig bleiben. Nun wissen sie nicht, was zu tun ist. Zum Glück kommen da noch Schneewittchen, der Prinz, die böse Königin und der böse Wolf zu Besuch, also beschließt man, einfach die Lebkuchen unter allen jetzt anwesenden elf Personen aufzuteilen. Leider geht es wieder nicht auf, es bleiben acht Lebkuchen übrig, und es entbrennt ein heftiger Streit, wem diese zustehen. Nach einer Weile sind der böse Wolf und die böse Königin genervt, klauen kurzerhand die Lebkuchen und verschwinden.
Sie entzünden im Wald ein Lagerfeuer, machen es sich gemütlich und
wollen ihr Diebesgut aufteilen, aber dann merken sie, daß sie eine ungerade Anzahl Lebkuchen geklaut haben, und schon wieder kann man nicht teilen.
Zum Glück kommt aber in diesem Moment Knecht Ruprecht vorbei, setzt sich
zu ihnen, und die drei beschließen, die Lebkuchen einfach zu dritt aufzuteilen; diesmal geht endlich alles auf, jeder bekommt gleich viele Lebkuchen und alle sind glücklich und zufrieden.
Wie viele Lebkuchen haben die sieben Zwerge ursprünglich gebacken? Der Beweis des Chinesischen Restsatzes aus der Vorlesung hilft euch dabei, dies zu berechnen.
Was man noch wissen sollte: Da der Backofen der sieben Zwerge
nicht so groß ist, waren sie sicher nicht dazu imstande, mehr als 462 Lebkuchen zu backen. |
Hi Leute,
obige Aufgabe ist auf unserem aktuellen Algebra-Übungsblatt. Ich habe zwar eine Lösung, weiß aber nicht ob die richtig ist und ob das alles so elegant ist, denn sie ist ziemlich kurz. Vieleicht kann ja mal einer drüberschauen:
Die gesuchte Zahl hab ich x genannt. Wir können die Aufgabenstellung umformulieren in
x = 3 mod 7
x= 8 mod 11
x = 1 mod 2
x = 0 mod 3
x [mm] \le [/mm] 462.
Jetzt sind 2, 3, 7 und 11 ja alle teilerfremd und der chinesische Restsatz besagt gerade dass
[mm] \IZ/462\IZ \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/3\IZ [/mm] x [mm] \IZ/7\IZ [/mm] x [mm] \IZ/11\IZ [/mm] .
Der Isomorphismus ist ja dadurch gegeben:
x mod 462 [mm] \mapsto [/mm] (x mod 2, x mod 3, x mod 7, x mod 11) .
Damit wäre doch bewiesen, dass es nur eine einzige Zahl geben kann, die die Eigenschaften erfüllt. Wenn man dann also rumprobiert (möglichst effektiv mit den Zahlen, die 8 mod 11 sind) und auf eine passende Zahl stößt, ist diese ja bereits die gesuchte.
Also hab ich 129 rausgekriegt.
Stimmt das so?
Vielen Dank schon mal!!
Gruß Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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