www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Chinesischer Restsatz
Chinesischer Restsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Chinesischer Restsatz: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:46 Do 16.04.2009
Autor: fin129

Aufgabe
Aufgabe existiert nicht explizit, mir geht es um einen Teil des Beweises des chinesischen Restsatz, siehe unten.

Zu zeigen wäre allgemein: für simultane Kongruenzen mit teilerfremden Moduln: es existiert eine Lösung, sie ist eindeutig und effizient berechenbar.

Mich interessiert nur der Existenzbeweis.

Mein Problem ist, dass ich die Beweis-Idee nicht kenne, sowie einen Schritt in dem gegebenen Beweis nicht nachvollziehen kann.

Der Beweis soweit:
Sei [mm] $\forall 1\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] k$
[mm] x\equiv a_i \mod n_i [/mm]
und sei
[mm] N=\prod_{i=1}^{k}n_i [/mm]
sowie alle [mm] $n_i$ [/mm] paarweise teilerfremd.

Sei ausserdem [mm] $m_i \cdot \frac{N}{n_i} \equiv [/mm] 1 [mm] \mod n_i$, [/mm] also [mm] $m_i$ [/mm] multiplikativ invers zu [mm] $\frac{N}{n_i}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Z}_{n_i}$ [/mm]

Betrachten Zahl x mit
[mm] x\equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod N [/mm]
>Frage 1) wie kommt man auf diese Zahl [mm] $\widehat{=}$ [/mm] Beweis-Idee

[mm] \equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod n_j [/mm]
>Frage 2) diesen Schritt verstehe ich nicht, wie kommt man von [mm] $\mod [/mm] N$ auf [mm] $\mod n_j$ [/mm]

Der Rest ist mir soweit klar, da [mm] $\frac{N}{n_i}\equiv [/mm] 0 [mm] \mod n_j [/mm] $, [mm] $\forall [/mm] i [mm] \neq [/mm] j$  vereinfacht sich die Summe zu
[mm] \equiv a_j\cdot m_j \cdot \frac{N}{n_j} \mod n_j [/mm]

und da [mm] $\frac{N}{n_j}\equiv [/mm] 1 [mm] \mod n_j [/mm] $ ist, folgt
[mm] \equiv a_j \mod n_j \square [/mm]



        
Bezug
Chinesischer Restsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:21 Fr 17.04.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Aufgabe existiert nicht explizit, mir geht es um einen Teil
> des Beweises des chinesischen Restsatz, siehe unten.
>  Zu zeigen wäre allgemein: für simultane Kongruenzen mit
> teilerfremden Moduln: es existiert eine Lösung, sie ist
> eindeutig und effizient berechenbar.
>  
> Mich interessiert nur der Existenzbeweis.
>  
> Mein Problem ist, dass ich die Beweis-Idee nicht kenne,
> sowie einen Schritt in dem gegebenen Beweis nicht
> nachvollziehen kann.
>  
> Der Beweis soweit:
>  Sei [mm]\forall 1\leq i \leq k[/mm]
>  [mm] x\equiv a_i \mod n_i [/mm]
>  und sei
> [mm] N=\prod_{i=1}^{k}n_i [/mm]
>  sowie alle [mm]n_i[/mm] paarweise teilerfremd.
>  
> Sei ausserdem [mm]m_i \cdot \frac{N}{n_i} \equiv 1 \mod n_i[/mm],
> also [mm]m_i[/mm] multiplikativ invers zu [mm]\frac{N}{n_i}[/mm] in
> [mm]\mathbb{Z}_{n_i}[/mm]
>  
> Betrachten Zahl x mit
>  [mm] x\equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod N [/mm]
>  
> >Frage 1) wie kommt man auf diese Zahl [mm]\widehat{=}[/mm]
> Beweis-Idee
>  
> [mm] \equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod n_j [/mm]
>  
> >Frage 2) diesen Schritt verstehe ich nicht, wie kommt man
> von [mm]\mod N[/mm] auf [mm]\mod n_j[/mm]

Das gilt für alle Teiler von N, denn [mm] $a\equiv [/mm] b [mm] \pmod{N}$ [/mm] bedeutet, dass $a-b$ ein Vielfaches von N ist. Also ist $a-b$ ein Vielfaches eines beliebigen Teilers von N.

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Chinesischer Restsatz: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Fr 17.04.2009
Autor: fin129

Danke für die Antwort, konkret auf den Beweis angewandt heißt das dann doch:

$ [mm] x\equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod [/mm] N $
Sei [mm] $s_i [/mm] = [mm] a_i\cdot m_i\cdot \frac{N}{n_i}$, [/mm] also
$ [mm] x\equiv \sum_{i=1}^{k}s_i \mod [/mm] N [mm] \Longrightarrow x-\sum_{i=1}^{k}s_i =c_1\cdot [/mm] N$
und da [mm] $n_j \vert [/mm] N$ auch
$ [mm] x-\sum_{i=1}^{k}s_i =c_2\cdot n_j$ [/mm] mit [mm] $c_1, c_2 \in \mathbb{N}$ [/mm] konstant

In Worten: Da x minus die Summe durch N teilbar ist, und [mm] $n_j$ [/mm] Teiler von N ist, ist x minus die Summe auch durch [mm] $n_j$ [/mm] teilbar.

Bitte ggf. korrigieren.

Und Frage 1) bzgl. Beweis-Idee ist immer noch offen.


Bezug
                        
Bezug
Chinesischer Restsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Fr 17.04.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Danke für die Antwort, konkret auf den Beweis angewandt
> heißt das dann doch:
>  
> [mm]x\equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod N[/mm]
>  
> Sei [mm]s_i = a_i\cdot m_i\cdot \frac{N}{n_i}[/mm], also
>  [mm]x\equiv \sum_{i=1}^{k}s_i \mod N \Longrightarrow x-\sum_{i=1}^{k}s_i =c_1\cdot N[/mm]
>  
> und da [mm]n_j \vert N[/mm] auch
>  [mm]x-\sum_{i=1}^{k}s_i =c_2\cdot n_j[/mm] mit [mm]c_1, c_2 \in \mathbb{N}[/mm]
> konstant
>  
> In Worten: Da x minus die Summe durch N teilbar ist, und
> [mm]n_j[/mm] Teiler von N ist, ist x minus die Summe auch durch [mm]n_j[/mm]
> teilbar.

Richtig.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
        
Bezug
Chinesischer Restsatz: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Fr 17.04.2009
Autor: fin129

Bleibt noch meine erste Frage,

Betrachten Zahl x mit
[mm] x\equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod N [/mm]
>Frage 1) wie kommt man auf diese Zahl [mm] $\widehat{=}$ [/mm] Beweis-Idee


Edit: Ich konkretisiere ein wenig, wie stellt man eine Zahl auf, die alle simultanen o.g. Kongruenzen erfüllt. Das Ergenis selbst steht ja schon da, der Beweis auch, aber weswegen soll x gerade von dieser Form sein / was ist der eigentliche Grundgedanke des Beweises?

Bezug
                
Bezug
Chinesischer Restsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:23 Sa 18.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Betrachten Zahl x mit
>  [mm] x\equiv \sum_{i=1}^{k}a_i\cdot m_i \cdot \frac{N}{n_i} \mod N [/mm]
>  
> >Frage 1) wie kommt man auf diese Zahl [mm]\widehat{=}[/mm]
> Beweis-Idee
>
> Edit: Ich konkretisiere ein wenig, wie stellt man eine Zahl
> auf, die alle simultanen o.g. Kongruenzen erfüllt. Das
> Ergenis selbst steht ja schon da, der Beweis auch, aber
> weswegen soll x gerade von dieser Form sein / was ist der
> eigentliche Grundgedanke des Beweises?

Die Idee ist, dass [mm] $x_i [/mm] := [mm] m_i \cdot \frac{N}{n_i}$ [/mm] die Gleichungen [mm] $x_i \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{n_i}$ [/mm] und [mm] $x_i \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{n_j}$ [/mm] fuer $j [mm] \neq [/mm] i$ erfuellt. (Zweiteres ist klar, da [mm] $n_j$ [/mm] ein Teiler von [mm] $\frac{N}{n_i}$ [/mm] und dadurch auch von [mm] $m_i \cdot \frac{N}{n_i}$ [/mm] ist. Fuer das erstere braucht man etwas mehr Arbeit.)

Damit hat man naemlich sozusagen eine ``Basis'', die man mit den Koeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] linear kombinieren kann um das gewuenschte $x$ zu erhalten.

Eine andere Version des Chinesischen Restsatzes sagt ja auch [mm] $\IZ/N\IZ \cong \IZ/n_1\IZ \times \dots \times \IZ/n_k\IZ$. [/mm] Auf der linken Seite suchst du $x$, das auf der rechten Seite den Vektor [mm] $(a_1, \dots, a_k)$ [/mm] ergibt. Und [mm] $m_i \cdot \frac{N}{n_i}$ [/mm] auf der linken Seite ergibt gerade $(0, [mm] \dots, [/mm] 0, 1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0)$ mit $1$ an der $i$-ten Stelle.

Hilft dir das weiter?

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Chinesischer Restsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Sa 18.04.2009
Autor: fin129

Hm, es handelt sich also um eine Art Linearkombination von den [mm] $a_i$ [/mm] derart, dass die Kongruenzen erfüllt sind?

Das muss ich mal durchdenken, danke.

Bezug
        
Bezug
Chinesischer Restsatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mi 22.04.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de