Chinesischer Restsatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Ich muss bei dieser Aufgabe den chinesischen Restsatz anwenden, richtig?? Also soweit bin ich ja schon. UND WEITER ?!
Es seien [mm] a_1, [/mm] ... ,[mm]a_n\in\IN[/mm]\ {0} paarweise teilerfremd und [mm] r_1, [/mm] ..., [mm]r_n\in\IN[/mm] Zahlen mit 0[mm]\le[/mm] [mm] r_i [/mm] < [mm] a_i [/mm] für i = 1, ... ,n.
Man zeige: Es existiert eine Zahl [mm]a\in\IN[/mm], so dass a bei ganzzahliger Division durch [mm] a_i [/mm] jeweils den Rest [mm] r_i [/mm] lässt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Di 22.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Dana!
Ich gehe mal davon aus, dass du den chinesischen Restsatz in der folgenden Version kennst:
Sind [mm] $I_1, \ldots, I_n$ [/mm] Ideale, so dass [mm] $I_i [/mm] + [mm] I_j [/mm] = R$ für $i [mm] \ne [/mm] j$ (man nennt die Ideale dann teilerfremd), und ist $I$ das Produkt der Ideale, dann ist $I$ gleich dem Durchschnitt der [mm] $I_j$ [/mm] und der Faktorring $R/I$ ist isomorph zum Produktring [mm] $R/I_1 \times \ldots \times R/I_n$ [/mm] durch den Isomorphismus
$f : [mm] \begin{array}{ccc} R/I & \to & R/I_1 \times \ldots \times R/I_n \\[5pt] x+I & \mapsto & (x+I_1,\ldots, x + I_n) \end{array}$.
[/mm]
Nun musst du hier [mm] $R=\IZ$ [/mm] und [mm] $I_j [/mm] = [mm] r_j\IZ$ [/mm] wählen, also die Menge aller Vielfachen von [mm] $r_j$. [/mm] Nach dem Lemma von Bezout (der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen, der hier gleich 1 ist, lässt sich als ganzzahlige Linearkombination der beiden Zahlen darstellen) folgt:
[mm] $r_i\IZ [/mm] + [mm] r_j \IZ [/mm] = [mm] \IZ$.
[/mm]
Nun muss es, da obiges $f$ surjektiv ist, zu [mm] $(r_1+ a_1\IZ [/mm] , [mm] \ldots, r_n [/mm] + [mm] a_n \IZ)$ [/mm] ein $a + [mm] \IZ$ [/mm] geben mit:
$a + [mm] a_i\IZ [/mm] = [mm] r_i [/mm] + [mm] a_i \IZ$ ($i=1,\ldots,n$).
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 27.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Hallo Julius,
ich hab gerade auch zu dieser Aufgabe einen nun endgültig fertigen Lösungsvorschlag erhalten.
Kannst du auch hier bitte nochmal reingucken und sagen, ob wir das so lassen können?
Danke Dana
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Dana!
Ich bin aufgrund deines Satzes "ich muss den chinesoschen Restsatz anwenden" natürlich davon ausgegangen, dass ihr der von mir zitierten Form schon hattet. In diesem Fall wäre meine Lösung wesentlich kompakter.
In der von dir vorgestellten Lösung wird der chinesische Restsatz ja noch einmal in dem hier benötigten Spezialfall hergeleitet. Daher gehe ich davon aus (was soll ich auch anders tun, ich kenne eure Vorlesung ja nicht !?), dass ihr das so machen solltet. Du musst demnächst umbedingt mehr über die Hintegründe schreiben (welche Sätze hattet ihr in dem Zusammenhange in der Vorlesung, was dürft ihr verwenden, am besten ein Link zum Skript), sonst weiß ich ja nie, was ich voraussetzen darf!!!
Mathematische Fehler konnte ich in der Lösung jedenfalls nicht entdecken, auch wenn ich (mit jahrelanger Erfahrung) sicherlich einiges anders formuliert hätte.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
