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Chinesischer Restsatz: Korrekturlesen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 15.07.2012
Autor: Manu87

Aufgabe
(a) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl $z$ so, dass die folgenden Kongruenzen erfüllt
sind:
$z [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 2)$
$z [mm] \equiv [/mm] 4 (mod 9)$
$z [mm] \equiv [/mm] 9 (mod 11)$

(b) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl $z$ so, dass die folgenden Kongruenzen erfüllt
sind:
$3 [mm] \cdot [/mm]  z [mm] \equiv [/mm] 4 (mod 5)$
$5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 (mod 6)$
$2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 7)$

(c) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl $z$ so, dass die folgenden Kongruenzen erfüllt
sind:
$z [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 2)$
$z [mm] \equiv2 [/mm] (mod 9)$
$z [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 15)$

Hallo es wäre sehr nett wenn jemand von euch mal Korrekturlesen könnte.
Dankeschön
Gruß



a)

[mm] Gegeben:\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] (\mod{2})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] (\mod{9})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 9 [mm] (\mod{11})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$M = [mm] m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 9 [mm] \cdot [/mm] 11 [mm] \cdot [/mm] = [mm] 198$\\ [/mm]
[mm] $M_1 [/mm] = [mm] M/m_1 [/mm] = 198/2 = [mm] 99$\\ [/mm]
[mm] $M_2 [/mm] = [mm] M/m_2 [/mm] = 198/9 = [mm] 22$\\ [/mm]
[mm] $M_3 [/mm] = [mm] M/m_3 [/mm] = 198/11 = [mm] 18$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm] gelten:\\ [/mm]
[mm] $ggt(m_i, M_i) [/mm] = 1 = [mm] r_i \cdot m_i [/mm] + [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus finden [mm] wir:\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot m_1 [/mm] + [mm] s_1 \cdot M_1 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot [/mm] 2 + [mm] s_1 \cdot [/mm] 99 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1 [/mm] = 50, [mm] s_1 [/mm] = [mm] -1$\\ [/mm]
$50 [mm] \cdot [/mm] 2 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 99 = 1$ [mm] \checkmark \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot m_2 [/mm] + [mm] s_2 \cdot M_2 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot [/mm] 9 + [mm] s_2 \cdot [/mm] 22 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1= [/mm] 5, [mm] s_2 [/mm] = [mm] -2$\\ [/mm]
$5 [mm] \cdot [/mm] 9 + (-2) [mm] \cdot [/mm] 22 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot m_3 [/mm] + [mm] s_3 \cdot M_3 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot [/mm] 11 + [mm] s_3 \cdot [/mm] 18 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1=5, s_3 [/mm] = [mm] -3$\\ [/mm]
$5 [mm] \cdot [/mm] 11 + (-3) [mm] \cdot [/mm] 18 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $e_i [/mm] = [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
$ [mm] e_1 [/mm] = -1 [mm] \cdot [/mm] 99 = [mm] -99$\\ [/mm]
$ [mm] e_2 [/mm] = -3 [mm] \cdot [/mm] 22 = [mm] -44$\\ [/mm]
$ [mm] e_3 [/mm] = -4 [mm] \cdot [/mm] 18 = [mm] -54$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$z = 0 [mm] \cdot e_1 [/mm] + 4 [mm] \cdot e_2 [/mm] + 9 [mm] \cdot [/mm] - [mm] e_3$\\ [/mm]
$z = 0 [mm] \cdot [/mm] -99 + 4 [mm] \cdot [/mm] -44 + 9 [mm] \cdot [/mm] -54 = [mm] -662$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$-662 [mm] \mod{198} [/mm] = [mm] 130$\\ [/mm]
$130$ ist kongruenz zu [mm] $\mod{198}$\\ [/mm]



b)

[mm] Gegeben:\\ [/mm]
$ 3 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] (\mod{5})$\\ [/mm]
$ 5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (\mod{6})$\\ [/mm]
$ 2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] (\mod{7})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Zunaechst muessen wir die Vorfaktoren "neutralisieren". Dazu multiplizieren
wir jeweils das multiplikative Inverse, welches wir mit Hilfe des
erweiterten Euklidischen Algorithmus finden

Fuer $ 3 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] (\mod{5})$:\\ [/mm]
$x * 3 + y * 5 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=2, [mm] y=-1$\\ [/mm]
$2 * 3 + (-1) * 5 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] (\mod{5})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Fuer $ 5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (\mod{6})$:\\ [/mm]
$x * 5 + y * 6 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=2, [mm] y=-1$\\ [/mm]
$4 * 5 + 4 * 6 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] (\mod{6})$:\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Fuer $ 2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] (\mod{7})$:\\ [/mm]
$x * 2 + y * 7 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=2, [mm] y=-1$\\ [/mm]
$4 * 2 + (-1) * 7 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] z [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] (\mod{7})$:\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$M = [mm] m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 [/mm] = 5 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] = [mm] 210$\\ [/mm]
[mm] $M_1 [/mm] = [mm] M/m_1 [/mm] = 210/5 = [mm] 42$\\ [/mm]
[mm] $M_2 [/mm] = [mm] M/m_2 [/mm] = 210/6 = [mm] 35$\\ [/mm]
[mm] $M_3 [/mm] = [mm] M/m_3 [/mm] = 210/7 = [mm] 30$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm] gelten:\\ [/mm]
[mm] $ggt(m_i, M_i) [/mm] = 1 = [mm] r_i \cdot m_i [/mm] + [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot m_1 [/mm] + [mm] s_1 \cdot M_1 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot [/mm] 5 + [mm] s_1 \cdot [/mm] 42 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1=68, s_1 [/mm] = [mm] -2$\\ [/mm]
$17 [mm] \cdot [/mm] 5 + (-2) [mm] \cdot [/mm] 42 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot m_2 [/mm] + [mm] s_2 \cdot M_2 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot [/mm] 6 + [mm] s_2 \cdot [/mm] 35 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_2=6, s_2 [/mm] = [mm] -1$\\ [/mm]
$6 [mm] \cdot [/mm] 6 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 35 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot m_3 [/mm] + [mm] s_3 \cdot M_3 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot [/mm] 7 + [mm] s_3 \cdot [/mm] 30 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_3=13, s_3 [/mm] = [mm] -3$\\ [/mm]
$13 [mm] \cdot [/mm] 7 + (-3) [mm] \cdot [/mm] 30 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $e_i [/mm] = [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
$ [mm] e_1 [/mm] = -2 [mm] \cdot [/mm] 42 = [mm] -84$\\ [/mm]
$ [mm] e_2 [/mm] = -1 [mm] \cdot [/mm] 35 = [mm] -35$\\ [/mm]
$ [mm] e_3 [/mm] = -3 [mm] \cdot [/mm] 30 = [mm] -90$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$z = 2 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot e_1 [/mm] + 5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot e_2 [/mm] + 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] - [mm] e_3$\\ [/mm]
$z = 2 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] -84 + 5 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] -35 + 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] - 90 = [mm] -2102$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $-2102\mod{210} [/mm] = [mm] 208$\\ [/mm]
$208$ ist kongruenz zu [mm] $\mod{210}$\\ [/mm]



c)

[mm] Gegeben:\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] (\mod{2})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (\mod{9})$\\ [/mm]
$ z [mm] \equiv [/mm] 9 [mm] (\mod{15})$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
$M = [mm] m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 9 [mm] \cdot [/mm] 15 [mm] \cdot [/mm] = [mm] 270$\\ [/mm]
[mm] $M_1 [/mm] = [mm] M/m_1 [/mm] = 270/2 = [mm] 135$\\ [/mm]
[mm] $M_2 [/mm] = [mm] M/m_2 [/mm] = 270/9 = [mm] 30$\\ [/mm]
[mm] $M_3 [/mm] = [mm] M/m_3 [/mm] = 270/15 = [mm] 18$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm] gelten:\\ [/mm]
[mm] $ggt(m_i, M_i) [/mm] = 1 = [mm] r_i \cdot m_i [/mm] + [mm] s_i \cdot M_i$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot m_1 [/mm] + [mm] s_1 \cdot M_1 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_1 \cdot [/mm] 2 + [mm] s_1 \cdot [/mm] 135 = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $\Rightarrow r_1=68, s_1 [/mm] = [mm] -1$\\ [/mm]
$68 [mm] \cdot [/mm] 2 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 135 = 1$ [mm] \checkmark\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot m_2 [/mm] + [mm] s_2 \cdot M_2 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_2 \cdot [/mm] 9 + [mm] s_2 \cdot [/mm] 30 = 1 [mm] \neq [/mm] ggt(9,30) = [mm] 3$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot m_3 [/mm] + [mm] s_3 \cdot M_3 [/mm] = [mm] 1$\\ [/mm]
[mm] $r_3 \cdot [/mm] 15 + [mm] s_3 \cdot [/mm] 18 = 1 [mm] \neq [/mm] ggt(15,18) = [mm] 3$\\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
Es konnte keine Zahl gefunden werden, die die Kongruenzen [mm] erfuellt.\\ [/mm]
        
Bezug
Chinesischer Restsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Manu87,

> (a) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl [mm]z[/mm] so, dass
> die folgenden Kongruenzen erfüllt
>  sind:
>  [mm]z \equiv 0 (mod 2)[/mm]
>  [mm]z \equiv 4 (mod 9)[/mm]
>  [mm]z \equiv 9 (mod 11)[/mm]
>  
> (b) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl [mm]z[/mm] so, dass
> die folgenden Kongruenzen erfüllt
>  sind:
>  [mm]3 \cdot  z \equiv 4 (mod 5)[/mm]
>  [mm]5 \cdot z \equiv 2 (mod 6)[/mm]
>  
> [mm]2 \cdot z \equiv 3 (mod 7)[/mm]
>  
> (c) Finden Sie (falls möglich) eine ganze Zahl [mm]z[/mm] so, dass
> die folgenden Kongruenzen erfüllt
>  sind:
>  [mm]z \equiv 1 (mod 2)[/mm]
>  [mm]z \equiv2 (mod 9)[/mm]
>  [mm]z \equiv 7 (mod 15)[/mm]
>  
> Hallo es wäre sehr nett wenn jemand von euch mal
> Korrekturlesen könnte.
>  Dankeschön
>  Gruß
>
>
>
> a)
>  
> [mm]Gegeben:\\[/mm]
>  [mm]z \equiv 0 (\mod{2})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 4 (\mod{9})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 9 (\mod{11})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]M = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 2 \cdot 9 \cdot 11 \cdot = 198[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_1 = M/m_1 = 198/2 = 99[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]M_2 = M/m_2 = 198/9 = 22[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_3 = M/m_3 = 198/11 = 18[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm]gelten:\\[/mm]
>  [mm]ggt(m_i, M_i) = 1 = r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus finden
> [mm]wir:\\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot m_1 + s_1 \cdot M_1 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot 2 + s_1 \cdot 99 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1 = 50, s_1 = -1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]50 \cdot 2 + (-1) \cdot 99 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot m_2 + s_2 \cdot M_2 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot 9 + s_2 \cdot 22 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1= 5, s_2 = -2[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]5 \cdot 9 + (-2) \cdot 22 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot m_3 + s_3 \cdot M_3 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot 11 + s_3 \cdot 18 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1=5, s_3 = -3[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]5 \cdot 11 + (-3) \cdot 18 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]e_i = s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_1 = -1 \cdot 99 = -99[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_2 = -3 \cdot 22 = -44[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]e_3 = -4 \cdot 18 = -54[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]z = 0 \cdot e_1 + 4 \cdot e_2 + 9 \cdot - e_3[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z = 0 \cdot -99 + 4 \cdot -44 + 9 \cdot -54 = -662[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]-662 \mod{198} = 130[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]130[/mm] ist kongruenz zu [mm]\mod{198}[/mm][mm] \\[/mm]
>  


[ok]


>
> b)
>  
> [mm]Gegeben:\\[/mm]
>  [mm]3 \cdot z \equiv 4 (\mod{5})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]5 \cdot z \equiv 2 (\mod{6})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]2 \cdot z \equiv 3 (\mod{7})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Zunaechst muessen wir die Vorfaktoren "neutralisieren".
> Dazu multiplizieren
>  wir jeweils das multiplikative Inverse, welches wir mit
> Hilfe des
>  erweiterten Euklidischen Algorithmus finden
>  
> Fuer [mm]3 \cdot z \equiv 4 (\mod{5})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  [mm]x * 3 + y * 5 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x=2, y=-1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]2 * 3 + (-1) * 5 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 2 \cdot 3 \cdot z \equiv 2 \cdot 4 (\mod{5})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  Fuer [mm]5 \cdot z \equiv 2 (\mod{6})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  [mm]x * 5 + y * 6 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x=2, y=-1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]4 * 5 + 4 * 6 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\Rightarrow 5 \cdot 5 \cdot z \equiv 5 \cdot 2 (\mod{6})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  Fuer [mm]2 \cdot z \equiv 3 (\mod{7})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  [mm]x * 2 + y * 7 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x=2, y=-1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]4 * 2 + (-1) * 7 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 4 \cdot 2 \cdot z \equiv 4 \cdot 3 (\mod{7})[/mm][mm] :\\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]M = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot = 210[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_1 = M/m_1 = 210/5 = 42[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]M_2 = M/m_2 = 210/6 = 35[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_3 = M/m_3 = 210/7 = 30[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm]gelten:\\[/mm]
>  [mm]ggt(m_i, M_i) = 1 = r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot m_1 + s_1 \cdot M_1 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot 5 + s_1 \cdot 42 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1=68, s_1 = -2[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]17 \cdot 5 + (-2) \cdot 42 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot m_2 + s_2 \cdot M_2 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot 6 + s_2 \cdot 35 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_2=6, s_2 = -1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]6 \cdot 6 + (-1) \cdot 35 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot m_3 + s_3 \cdot M_3 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot 7 + s_3 \cdot 30 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_3=13, s_3 = -3[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]13 \cdot 7 + (-3) \cdot 30 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]e_i = s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_1 = -2 \cdot 42 = -84[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]e_2 = -1 \cdot 35 = -35[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]e_3 = -3 \cdot 30 = -90[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]z = 2 \cdot 4 \cdot e_1 + 5 \cdot 2 \cdot e_2 + 4 \cdot 3 \cdot - e_3[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]z = 2 \cdot 4 \cdot -84 + 5 \cdot 2 \cdot -35 + 4 \cdot 3 \cdot - 90 = -2102[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]-2102\mod{210} = 208[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]208[/mm] ist kongruenz zu [mm]\mod{210}[/mm][mm] \\[/mm]
>  


[ok]


>
> c)
>  
> [mm]Gegeben:\\[/mm]
>  [mm]z \equiv 1 (\mod{2})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 2 (\mod{9})[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]z \equiv 9 (\mod{15})[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]M = m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot = 270[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_1 = M/m_1 = 270/2 = 135[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]M_2 = M/m_2 = 270/9 = 30[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]M_3 = M/m_3 = 270/15 = 18[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Um eine Loesung zu finden muss folgendes [mm]gelten:\\[/mm]
>  [mm]ggt(m_i, M_i) = 1 = r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot m_1 + s_1 \cdot M_1 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_1 \cdot 2 + s_1 \cdot 135 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow r_1=68, s_1 = -1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]68 \cdot 2 + (-1) \cdot 135 = 1[/mm]
> [mm]\checkmark\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot m_2 + s_2 \cdot M_2 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_2 \cdot 9 + s_2 \cdot 30 = 1 \neq ggt(9,30) = 3[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot m_3 + s_3 \cdot M_3 = 1[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]r_3 \cdot 15 + s_3 \cdot 18 = 1 \neq ggt(15,18) = 3[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  Es konnte keine Zahl gefunden werden, die die Kongruenzen
> [mm]erfuellt.\\[/mm]  


Das ist richtig.

Das geht aber so: []Chinesischer Restsatz - Allgemeiner Fall


Gruss
MathePower
Bezug
                
Bezug
Chinesischer Restsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 So 15.07.2012
Autor: Manu87

Also gut dann kann ich beruhigt schlafen gehen.
Danke dir! ;-D
Bezug
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