Corollar zu ε - δ - Def. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Fr 09.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo liebe Community,
ich habe noch eine Frage zu einem Beweis zur Stetigkeit.
Satz: Sei f: D [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetig im Punkt p [mm] \in [/mm] D und f(p) [mm] \not= [/mm] 0. Dann ist f(x) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x in einer Umgebung von p, d.h. es existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass
f(x) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta.
[/mm]
Beweis: Zu [mm] \epsilon:= [/mm] |f(p)| > 0 existiert nach der [mm] \epsilon-\delta [/mm] Definition ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass
|f(x) - f(p)| < [mm] \epsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta.
[/mm]
Daraus folgt |f(x)| [mm] \ge [/mm] |f(p)| - |f(x) - f(p)| > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit |x-p| < [mm] \delta.
[/mm]
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Hierzu habe ich eigentlich nur eine Frage:
Wieso gilt |f(x)| [mm] \ge [/mm] |f(p)| - |f(x) - f(p)| ? Ist dies eine Abwandlung der Dreiecksungleichung?
Für eure Antworten wie immer sehr dankbar,
X3nion
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Hallo X3nion,
$ [mm] \vert [/mm] f(p) [mm] \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] f(p) - f(x) + f(x) [mm] \vert \le \vert [/mm] f(p) - f(x) [mm] \vert [/mm] + [mm] \vert [/mm] f(x) [mm] \vert \Rightarrow \vert [/mm] f(x) [mm] \vert \ge \vert [/mm] f(p) [mm] \vert [/mm] - [mm] \vert [/mm] f(p) - f(x) [mm] \vert$
[/mm]
LG,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Fr 09.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo ChopSuey,
danke für deine Antwort, jetzt macht es Sinn!
VG X3nion
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