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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Cosinus und Arc Cosinus
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Cosinus und Arc Cosinus: Pi / 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:35 So 18.02.2018
Autor: sancho1980

Hallo

ich versuche eine Rechnung nachzuvollziehen, bei der [mm] arccos(\bruch{1}{2}) [/mm] mit [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] gleichgesetzt wird. Wenn ich mir die Cosinus-Kurve anschaue, kann ich das schon glauben. Aber mich würde mal interessieren, wie man zeigen kann, dass [mm] arccos(\bruch{1}{2}) [/mm] genau [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] ist.

        
Bezug
Cosinus und Arc Cosinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:45 So 18.02.2018
Autor: angela.h.b.


> Hallo

>

> ich versuche eine Rechnung nachzuvollziehen, bei der
> [mm]arccos(\bruch{1}{2})[/mm] mit [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] gleichgesetzt wird.
> Wenn ich mir die Cosinus-Kurve anschaue, kann ich das schon
> glauben. Aber mich würde mal interessieren, wie man zeigen
> kann, dass [mm]arccos(\bruch{1}{2})[/mm] genau [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] ist.

Moin,

zeige, daß [mm] cos(\pi/3)=\bruch{1}{2} [/mm] ist.

Speziell beim 60°-Winkel ist das ja ziemlich leicht:
gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a, Höhe einzeichnen.

[mm] "cos(\alpha)=\bruch{Ankathete}{Hypotenuse}" [/mm] - und schon hast Du es.

Oder zielte Deine Frage auf etwas anderes?

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Cosinus und Arc Cosinus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 So 18.02.2018
Autor: sancho1980

Die Frage hast du schon richtig verstanden, aber ich komme mit deiner Antwort nicht zurecht,
Stelle dir den Einheitskreis im Koordinatensystem, 1. Quadrant vor.
Erste Möglichkeit: Ich zeichne meine Hypothenuse im Winkel von 60 Grad vom Ursprung ab. Dann zeichne ich die Gegenkathete orthogonal zur x-Achse von x-Achse zum Schnittpunkt [mm] \Rightarrow [/mm] Woraus folgt, dass der Ausgangspunkt genau bei 0.5, 0 liegt?
Zweite Möglichkeit: Ich zeichne meine Gegenkathete vom Punkt 0.5, 0 orthogonal zur x-Achse. Den Schnittpunkt mit dem Kreis verbinde ich mit dem Ursprung. [mm] \Rightarrow [/mm] Woraus genau folgt jetzt, dass der Winkel genau 60 Grad beträgt?

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Bezug
Cosinus und Arc Cosinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 So 18.02.2018
Autor: angela.h.b.


> Stelle dir den Einheitskreis im Koordinatensystem, 1.
> Quadrant vor.
> Erste Möglichkeit: Ich zeichne meine Hypothenuse im
> Winkel von 60 Grad vom Ursprung ab. Dann zeichne ich die
> Gegenkathete orthogonal zur x-Achse von x-Achse zum
> Schnittpunkt [mm]\Rightarrow[/mm] Woraus folgt, dass der
> Ausgangspunkt genau bei 0.5, 0 liegt?

Spiegele Dein Dreieck an der Gegenkathete.
Du erhältst ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 1.
Da rechte und linke Teildreieck sind kongruent, also muß die Ankathete die Länge 1/2 haben.

LG Angela




> Zweite Möglichkeit: Ich zeichne meine Gegenkathete vom
> Punkt 0.5, 0 orthogonal zur x-Achse. Den Schnittpunkt mit
> dem Kreis verbinde ich mit dem Ursprung. [mm]\Rightarrow[/mm] Woraus
> genau folgt jetzt, dass der Winkel genau 60 Grad beträgt?


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Cosinus und Arc Cosinus: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 11:09 Mo 19.02.2018
Autor: HJKweseleit

Für 5 Winkel kann man direkt aus der Geometrie die trigonom. Werte bestimmen. Alle anderen werden mit Hilfe von sog. Additions- und Subtraktionstheoremen oder über "unendliche Reihen" bestimmt.

      sin      cos   tan  

0°     0        1     0
30°   0,5     [mm]0,5\wurzel{3}[/mm]  [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{3} [/mm]
45°   [mm]0,5\wurzel{2}[/mm]   [mm]0,5\wurzel{2}[/mm]    1
60°   [mm] 0,5\wurzel{3} [/mm]    0,5    [mm] \wurzel{3} [/mm]
90°    1        0     [mm] \infty [/mm]


oder einprägsamer:


       sin    cos     tan=sin/cos

0°    [mm]0,5\wurzel{0}[/mm]   [mm]0,5\wurzel{4}[/mm]
30°   [mm]0,5\wurzel{1}[/mm]   [mm]0,5\wurzel{3}[/mm]
45°   [mm]0,5\wurzel{2}[/mm]   [mm]0,5\wurzel{2}[/mm]
60°   [mm]0,5\wurzel{3}[/mm]   [mm]0,5\wurzel{1}[/mm]
90°   [mm]0,5\wurzel{4}[/mm]   [mm]0,5\wurzel{0}[/mm]


0° und 90° sind klar, bei 45° zeichnest du ein gleichschenkliges Dreieck mit gleichlangen Katheten der Seitenlänge 1 und wendest Pythagoras an, bei 30° und 60° zeichnest du ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2 und halbierst es durch eine der Höhen, wendest dann auf ein Teildreieck wieder Pythagoras an.


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Cosinus und Arc Cosinus: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 11:31 Mo 19.02.2018
Autor: Diophant


> Für 5 Winkel kann man direkt aus der Geometrie die
> trigonom. Werte bestimmen. Alle anderen werden mit Hilfe
> von sog. Additions- und Subtraktionstheoremen oder über
> "unendliche Reihen" bestimmt.

Das ist völlig falsch. Das sind nur die, die man in der Schule lernt. Bei den anderen sind eben die geometrischen Überlegungen etwas komplizierter.

Mich stört es, dass hier oftmals derart unreflektiert irgendwelche kategorischen (und damit falschen) Behauptungen rausgehauen werden, und das von Usern, die es besser wissen müssten...

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Cosinus und Arc Cosinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 Mo 19.02.2018
Autor: HJKweseleit

Ja, Diophant hat völlig Recht, man kann fast alle sin-Werte aus geometrischen Betrachtungen herleiten, da der sin eine geometrische Beziehung darstellt (wenn man mal von der analytischen Definition über eine Reihe absieht). Und auch die genannten Theoreme lassen sich geometrisch herleiten.

Leider hat Diophant vergessen, mich noch darauf hinzuweisen, das tan=sin/cos natürlich auch falsch ist, weil
a) die Klammer (x) bei beiden fehlt und
b) der cos nicht 0 sein darf (also jetzt: [mm] cos(x)\ne0). [/mm]

Außerdem hat er mich auch nicht auf die völlig unsinnige Einschränkung meiner Behauptung auf den Bereich von 0° bis 90° hingewiesen, denn geometrisch lassen sich ja auch die Werte für 120°, 135° ..., ja sogar die für negative Winkel aus den bereits erwähnten Werten ableiten.

Manche Menschen sind einfach nur unvollkommen, aber zum Glück gilt das nicht für alle...

Bezug
                        
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Cosinus und Arc Cosinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Mo 19.02.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> .....   geometrisch lassen sich ja auch
> die Werte für 120°, 135° ..., ja sogar die für negative
> Winkel aus den bereits erwähnten Werten ableiten.


... und zwar kann man diese Ergänzungen (aus dem Bereich
der Winkel von 0° bis 90° auf Winkel in allen Quadranten)
durchaus auch mittels der Additions- und Subtraktions-
theoreme leisten, welche du ja dann "als zweites Mittel"
ebenfalls erwähnt hast ...

LG ,   Al-Chw.

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Bezug
Cosinus und Arc Cosinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 Mo 19.02.2018
Autor: Diophant


> Ja, Diophant hat völlig Recht, man kann fast alle
> sin-Werte aus geometrischen Betrachtungen herleiten, da der
> sin eine geometrische Beziehung darstellt (wenn man mal von
> der analytischen Definition über eine Reihe absieht). Und
> auch die genannten Theoreme lassen sich geometrisch
> herleiten.

>

> Leider hat Diophant vergessen, mich noch darauf
> hinzuweisen, das tan=sin/cos natürlich auch falsch ist,
> weil
> a) die Klammer (x) bei beiden fehlt und
> b) der cos nicht 0 sein darf (also jetzt: [mm]cos(x)\ne0).[/mm]

>

> Außerdem hat er mich auch nicht auf die völlig unsinnige
> Einschränkung meiner Behauptung auf den Bereich von 0°
> bis 90° hingewiesen, denn geometrisch lassen sich ja auch
> die Werte für 120°, 135° ..., ja sogar die für negative
> Winkel aus den bereits erwähnten Werten ableiten.

>

> Manche Menschen sind einfach nur unvollkommen, aber zum
> Glück gilt das nicht für alle...

Alle Menschen sind unvollkommen (die Unterstellung, die in deiner Bemerkung steckt, ist nebenbei eine ziemliche Unverschämtheit).

Aber ist das da oben alles, was du (als Lehrer) an Kritikfähigkeit zu bieten hast?

Sachlich werde ich auf diesen infantil-starrsinnigen Unfug nicht eingehen, aber man schaue sich einmal die Liste der Beiträge von HJKweseleit an, die von anderen Usern als fehlerhaft markiert wurden und inwiefern er daran interessiert ist, zu solchen Korrekturen Stellung zu nehmen (was eine konstruktive Grundhaltung signalisieren würde).

Es ist hier ein weiteres Beispiel dafür, dass es eine kleine Handvoll User ist, die immer wieder das hiesige Kommunikationsniveau auf ein fast unerträgliches Niveau herunterziehen.

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Cosinus und Arc Cosinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Mo 19.02.2018
Autor: HJKweseleit

Lieber Diophant,

bis auf wenige Ausnahmen bist du der einzige User, der ständig alles (nicht nur bei mir) bekrittelt, was nicht 100%-ig wasserdicht ist.

Wenn ich z.B. jemandem schreibe, der offenbar nicht einmal weiß, wie er mit Hilfe eines einfachen speziellen Dreiecks einen einfachen sin-Wert bestimmen kann, dass man dies nur mit 5 speziellen Winkeln machen kann, dann bezieht sich das natürlich auf die offenbar beschränkten mathematischen Fähigkeiten dieses Users. Der harsche Ton, den du dann anschlägst, wenn man vereinfacht oder Fehler/Ungenauigkeiten macht, ist weder angebracht noch dem Forum nützlich. Das verschreckt eher neue Interessenten als eine fehlerhafte Antwort, weil man den Eindruck gewinnt, dass sich hier die Mitglieder nur fetzen wollen.

Friede!

LG
HJKweseleit

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Cosinus und Arc Cosinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 Mo 19.02.2018
Autor: Al-Chwarizmi

> eine kleine Handvoll User

... und: zählst du dich auch dazu ?

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