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| Aufgabe | Man löse die folgenden Anfangswertprobleme:
d) [mm] y'=\bruch{2y-2xy^{2}-x}{2x^{2}y-2x}, [/mm] y(1)=0
f) (x+y)y'=y-x, y(1)=1 |
Habe mit beiden Aufgaben Probleme auf einen gescheiten Ansatz zu kommen, um die Differentialgleichungen zu lösen.
d) [mm] y'=\bruch{2y-2xy^{2}-x}{2x^{2}y-2x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=\bruch{x(\bruch{2y}{x}-2y^{2}-1)}{x(2xy-2)}
[/mm]
Sub: [mm] u=\bruch{y}{x}, [/mm] y=ux, y'=u'x+u
[mm] \Rightarrow u'x+u=\bruch{2u-2u^{2}x^{2}-1}{2x^{2}u-2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\bruch{du}{dx}x=\bruch{2u^{2}x^{2}-2u+1}{2x^{2}u-2}-u
[/mm]
??
f) (x+y)y'=y-x
[mm] \Rightarrow y'=\bruch{y-x}{x+y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=\bruch{-x+y}{x+y}
[/mm]
[mm] \vmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] -2\not=0 [/mm] nach der Form [mm] y'=f(\bruch{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ -x+y=0 \\ x+y=0 } \Rightarrow [/mm] x=0, y=0
Sub: u=x-1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=1-u
v=y+1 [mm] \Rightarrowy=v+1 \Rightarrow [/mm] y=v+1 [mm] \Rightarrow [/mm] y'=v'
[mm] \Rightarrow v'=\bruch{-1+u+v+1}{1-u+v+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v'=\bruch{u+v}{2-u+v}
[/mm]
??.. also ich scheine bei beiden Aufgaben auf dem Holzweg zu sein, komme da auf keinen grünen Zweig, hat vll jemand eine Idee mit welchen verfahren, Substitutionen etc ich die DGLs lösen kann?
Vielen Dank, Matthias
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Hallo matzew611,
> Man löse die folgenden Anfangswertprobleme:
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> d) [mm]y'=\bruch{2y-2xy^{2}-x}{2x^{2}y-2x},[/mm] y(1)=0
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> f) (x+y)y'=y-x, y(1)=1
> Habe mit beiden Aufgaben Probleme auf einen gescheiten
> Ansatz zu kommen, um die Differentialgleichungen zu lösen.
>
> d) [mm]y'=\bruch{2y-2xy^{2}-x}{2x^{2}y-2x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y'=\bruch{x(\bruch{2y}{x}-2y^{2}-1)}{x(2xy-2)}[/mm]
>
> Sub: [mm]u=\bruch{y}{x},[/mm] y=ux, y'=u'x+u
>
> [mm]\Rightarrow u'x+u=\bruch{2u-2u^{2}x^{2}-1}{2x^{2}u-2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\bruch{du}{dx}x=\bruch{2u^{2}x^{2}-2u+1}{2x^{2}u-2}-u[/mm]
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> ??
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Verwende hier die Substitution [mm]z\left(x\right)=x*y\left(x\right)[/mm].
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> f) (x+y)y'=y-x
>
> [mm]\Rightarrow y'=\bruch{y-x}{x+y}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y'=\bruch{-x+y}{x+y}[/mm]
>
> [mm]\vmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] = [mm]-2\not=0[/mm] nach der Form
> [mm]y'=f(\bruch{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ -x+y=0 \\ x+y=0 } \Rightarrow[/mm] x=0, y=0
>
> Sub: u=x-1 [mm]\Rightarrow[/mm] x=1-u
> v=y+1 [mm]\Rightarrowy=v+1 \Rightarrow[/mm] y=v+1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> y'=v'
>
> [mm]\Rightarrow v'=\bruch{-1+u+v+1}{1-u+v+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v'=\bruch{u+v}{2-u+v}[/mm]
Verwende hier die Substitution [mm]y\left(x\right)=x*u\left(x\right)[/mm].
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> ??.. also ich scheine bei beiden Aufgaben auf dem Holzweg
> zu sein, komme da auf keinen grünen Zweig, hat vll jemand
> eine Idee mit welchen verfahren, Substitutionen etc ich die
> DGLs lösen kann?
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> Vielen Dank, Matthias
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mi 24.06.2009 | | Autor: | matzew611 |
So vielen Dank, auch wenn es ein bissl spät von mir kommt, kannte diese Substitutionsregel zu dem Zeitpunkt noch nicht so wirklich, hat aber super funktioniert.
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