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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - DGL-System - 3 gleiche Eigenw.
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DGL-System - 3 gleiche Eigenw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Di 13.10.2015
Autor: Fl4shM4k3r

Aufgabe
[mm] y'=\pmat{-1&1&2\\-1&1&1\\-2&1&3}y [/mm]
[mm] y(0)=\pmat{1\\0\\1} [/mm]


Hallo,
es geht um obige Aufgabe.
Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1,2,3}=1 [/mm]
[mm] (A-\lambda I)=\pmat{-2&1&2\\-1&0&1\\-2&1&2} [/mm]
der erste Eigenvektor ergibt somit [mm] \vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1} [/mm]

Dann benutze ich folgenden Ansatz:
[mm] y_{2}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{x} [/mm]
[mm] y'_{2}=(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x} [/mm]

[mm] =>(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{x} [/mm]

KV:
[mm] x^0: \vec{a}+\vec{b}=A\vec{b} =>(A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a} [/mm]
[mm] x^1: \vec{a}=A\vec{a} =>(A-\lambda I)=\vec{0} [/mm]

=> [mm] \vec{a} [/mm] ist EV von [mm] \lambda=1 [/mm] mit [mm] \vec{a}=\pmat{1\\0\\1} [/mm]
[mm] \vmat{-2&1&2 | 1\\-1&0&1 | 0\\-2&1&2 | 1} [/mm]

[mm] \vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&1&0 | 1} [/mm]

[mm] \vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&0&0 | 0} [/mm]

Hier ergibt sich  [mm] \vec{b}=\pmat{1\\1\\1} [/mm]

Meine bisherigen Basislösungen sind also:
[mm] \vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1}e^x [/mm]
[mm] \vec{y_2}=(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})e^x [/mm]

Stimmt das bisher?
Wie komme ich jetzt auf die dritte?
Wenn ich den Ansatz [mm] y_3=(\vec{a}x^2+\vec{b}x+\vec{c})e^x [/mm] benutze steh ich nach dem KV mit 3 Gleichungen da, nur was machen mit denen...
[mm] (A-\lambda I)\vec{c}=\vec{b} [/mm]
[mm] (A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a} [/mm]
[mm] (A-\lambda I)\vec{a}=\vec{0} [/mm]

        
Bezug
DGL-System - 3 gleiche Eigenw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mi 14.10.2015
Autor: MathePower

Hallo   Fl4shM4k3r,

> [mm]y'=\pmat{-1&1&2\\-1&1&1\\-2&1&3}y[/mm]
>  [mm]y(0)=\pmat{1\\0\\1}[/mm]
>  
> Hallo,
>  es geht um obige Aufgabe.
>  Die Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1,2,3}=1[/mm]
>  [mm](A-\lambda I)=\pmat{-2&1&2\\-1&0&1\\-2&1&2}[/mm]
>  der erste
> Eigenvektor ergibt somit [mm]\vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1}[/mm]
>  
> Dann benutze ich folgenden Ansatz:
>  [mm]y_{2}=(\vec{a}x+\vec{b})e^{x}[/mm]
>  [mm]y'_{2}=(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x}[/mm]
>  
> [mm]=>(\vec{a}x+\vec{a}+\vec{b})e^{x}=A(\vec{a}x+\vec{b})e^{x}[/mm]
>  
> KV:
>  [mm]x^0: \vec{a}+\vec{b}=A\vec{b} =>(A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a}[/mm]
>  
> [mm]x^1: \vec{a}=A\vec{a} =>(A-\lambda I)=\vec{0}[/mm]
>  
> => [mm]\vec{a}[/mm] ist EV von [mm]\lambda=1[/mm] mit [mm]\vec{a}=\pmat{1\\0\\1}[/mm]
>  [mm]\vmat{-2&1&2 | 1\\-1&0&1 | 0\\-2&1&2 | 1}[/mm]
>  
> [mm]\vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&1&0 | 1}[/mm]
>  
> [mm]\vmat{-1&0&1 | 0\\0&1&0 | 1\\0&0&0 | 0}[/mm]
>  
> Hier ergibt sich  [mm]\vec{b}=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
>  
> Meine bisherigen Basislösungen sind also:
>  [mm]\vec{y_1}=\pmat{1\\0\\1}e^x[/mm]
>  [mm]\vec{y_2}=(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})e^x[/mm]
>  
> Stimmt das bisher?


Ja. [ok]


>  Wie komme ich jetzt auf die dritte?
>  Wenn ich den Ansatz [mm]y_3=(\vec{a}x^2+\vec{b}x+\vec{c})e^x[/mm]
> benutze steh ich nach dem KV mit 3 Gleichungen da, nur was
> machen mit denen...
>  [mm](A-\lambda I)\vec{c}=\vec{b}[/mm]
>  [mm](A-\lambda I)\vec{b}=\vec{a}[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm](A-\lambda I)\vec{b}=\blue{2}\vec{a}[/mm]


> [mm](A-\lambda I)\vec{a}=\vec{0}[/mm]  


Aus diesem System bestimmst Du jetzt die Vektoren.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL-System - 3 gleiche Eigenw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Mi 14.10.2015
Autor: Fl4shM4k3r

Hab ich das jetzt richtig verstanden das [mm] \vec{v_3}=\pmat{0\\-1\\1} [/mm] ist und somit meine 3.Basislösung wie folgt aussieht:
[mm] \vec{y_3}=(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})?? [/mm]

Dann hätte ich also letztendlich:
[mm] \vec{y}=e^x[C_1*\pmat{1\\0\\1}+C_2*(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})+C_3*(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})] [/mm]

Bezug
                        
Bezug
DGL-System - 3 gleiche Eigenw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Mi 14.10.2015
Autor: MathePower

Hallo   Fl4shM4k3r,


> Hab ich das jetzt richtig verstanden das
> [mm]\vec{v_3}=\pmat{0\\-1\\1}[/mm] ist und somit meine
> 3.Basislösung wie folgt aussieht:
>  
> [mm]\vec{y_3}=(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})??[/mm]
>  


Diese Lösung ist keine Basislösung des DGL-Systems.

Die Vektoren vor dem linearen und konstanten Anteil sind noch
mit 2 zu multiplizieren, da erst dies eine Basislösung des DGL-Systems ist.


> Dann hätte ich also letztendlich:
>  
> [mm]\vec{y}=e^x[C_1*\pmat{1\\0\\1}+C_2*(\pmat{1\\0\\1}x+\pmat{1\\1\\1})+C_3*(\pmat{1\\0\\1}x^2+\pmat{1\\1\\1}x+\pmat{0\\-1\\1})][/mm]
>  


Gruss
MathePower

Bezug
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