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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Mi 15.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Berechnen Sie eine implizite Lösung der folgenden DGL mit Hilfe eines integrierenden Faktors
1+xy [mm] -(x^{2}+x^{3}y)y'=0 [/mm] |
ich denke mal, der integrierende Faktor dient dazu, dass die Integrabilitätsbedingung [mm] A_{y}=B_{x} [/mm] eine wahre aussage ergibt odeR?
wie kommt man auf diesen integrierenden Faktor? stehe da komplett auf der Seife, bitte um Hilfe!!!
lg markus
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Hallo mwieland,
dieses pdf
http://www.das-gelbe-rechenbuch.de/download/ExakteDgl.pdf
könnte doch was für dich sein.
Schau's dir mal an!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 15.06.2011 | | Autor: | mwieland |
danke mal soweit
habe ich es richtig verstanden, dass also der integrierende faktor µ = [mm] \bruch{1}{B_{x}-A_{y}} [/mm] ist?
denn es steht ja da: µ_{y}A-µ_{x}B = µ [mm] (B_{x}-A_{y})
[/mm]
im allgemeinfall natürlich hier...
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Hallo mwieland,
> danke mal soweit
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> habe ich es richtig verstanden, dass also der integrierende
> faktor µ = [mm]\bruch{1}{B_{x}-A_{y}}[/mm] ist?
Nein.
>
> denn es steht ja da: µ_{y}A-µ_{x}B = µ [mm](B_{x}-A_{y})[/mm]
Stelle erstmal diese Gleichung auf.
>
> im allgemeinfall natürlich hier...
Gruss
MathePower
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Hallo,
> danke mal soweit
>
> habe ich es richtig verstanden, dass also der integrierende
> faktor µ = [mm]\bruch{1}{B_{x}-A_{y}}[/mm] ist?
>
> denn es steht ja da: µ_{y}A-µ_{x}B = µ [mm](B_{x}-A_{y})[/mm]
>
> im allgemeinfall natürlich hier...
Hier ist folgender Ansatz zielführend (durch testen von mehreren versch. Ansätzen gefunden):
[mm] $\frac{1}{B}* \left(A_y-B_x \right)=g(x)$
[/mm]
g(x) ist eine Funktion von x alleine. In diesem Fall ist dann
[mm] $\mu [/mm] (x)=exp [mm] \left( \int g(x)\ dx \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{x^3}$
[/mm]
Verwendet hatte ich: R. Bronson, G. Costa : Differential Equations.
![[]](/images/popup.gif) http://www.buecher.de/shop/englische-buecher/schaums-outline-differential-equations/bronson-richard-costa-gabriel/products_products/detail/prod_id/25526370/
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 15.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok also für [mm] A_{y}bB_{x} [/mm] bekommen is [mm] -2x-3x^{2}y [/mm] = x(-2-3xy)
nun muss ich mich entscheiden, ob ich durch A oder duch B dividiere oder?
A= 1+xy und B= [mm] x^{2}+x^{3}y
[/mm]
da sind doch beide eher ungeeignet zum dividieren um auf eine lösung zu kommen, die entwede nur x oder nur y enthält oder übersehe ich hier einfach was?
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Hallo,
> ok also für [mm]A_{y}bB_{x}[/mm] bekommen is [mm]-2x-3x^{2}y[/mm] =
> x(-2-3xy)
Du hattest deine DGL:
[mm] $(1+xy)dx-(x^2+x^3y)dy=0$
[/mm]
A = 1+xy [mm] A_y=x
[/mm]
[mm] B=-(x^2+x^3y)dy \; \; \; \; \; \; B_x=-2x-3x^2y
[/mm]
[mm] $A_y-B_x=x-(-2x-3x^2y)=3x+3x^2y$
[/mm]
> nun muss ich mich entscheiden, ob ich durch A oder duch B
> dividiere oder?
>
> A= 1+xy und B= [mm]x^{2}+x^{3}y[/mm]
Achtung: Vorzeichen!
> da sind doch beide eher ungeeignet zum dividieren um auf
> eine lösung zu kommen, die entwede nur x oder nur y
> enthält oder übersehe ich hier einfach was?
[mm] $\frac{1}{B}*(A_y-B_x)=\frac{-1}{x^2+x^3y}*(3x+3x^2y)=\frac{-3}{x}*\frac{x+x^2y}{x+x^2y}=\frac{-3}{x}$
[/mm]
Damit ist [mm] g(x)=-3*\frac{1}{x} [/mm] eine Funktion nur von x allein.
LG, Martinius
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