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| Aufgabe | Aufgabe 62:
Berechnen Sie jeweils die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Führen Sie dazu eine Trennung der Variablen und evt. zuvor eine geeignete Substitution durch.
g)
xy' = y+4x
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Hallo dem Matheraum - Forum!
Quäle mich gerade mit DGL und hänge immer mal wieder fest, jedoch finde ich bei dieser Aufgabe einfach den Fehler nicht heraus!
g)
xy' = y+4x
y' = [mm] \bruch{y}{x}+4
[/mm]
[mm] f_{1}(x) [/mm] = 4
Substituieren von z = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] mit [mm] \bruch{dz}{dy} [/mm] = z'x+z (Produktregel)
[mm] f_{2}(y) [/mm] = [mm] \bruch{dz}{z'x+z}
[/mm]
Stammfunkt.
[mm] F_{1}(x) [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{4 dx}
[/mm]
[mm] F_{1}(x) [/mm] = 4x + c
[mm] F_{2}(y) [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dz}{z'x+z} dx}
[/mm]
[mm] F_{2}(y) [/mm] = ln(z'x+z)
Rücksubstituieren:
[mm] F_{2}(y) [/mm] = [mm] ln((\bruch{1}{x})x+(\bruch{y}{x}))
[/mm]
[mm] F_{2}(y) [/mm] = [mm] ln((1+\bruch{y}{x}))
[/mm]
[mm] F_{1}(x) [/mm] = [mm] F_{2}(y)
[/mm]
4x + c = [mm] ln(1+\bruch{y}{x})
[/mm]
[mm] e^{(4x+c)} [/mm] * [mm] e^c [/mm] = [mm] (1+\bruch{y}{x})
[/mm]
[mm] e^{(4x+c)} [/mm] * [mm] e^c [/mm] -1 = [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] (e^{(4x+c)} [/mm] * [mm] e^c [/mm] -1)*x = y
y = [mm] (e^{(4x + c)} [/mm] * [mm] e^c [/mm] -1)*x
So einen habe ich gefunden, jedoch sehe ich dennoch nicht meinen Fehler!
Wo liegt er nur ?
Das Ergebniss lautet: y = (4 ln(x)+c)x
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Ich habe diese Frage niergens anders gestellt/gepostet/veröffendlicht!
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Hallo,
[mm] $y'=\frac{y}{x}+4$
[/mm]
[mm] $z=\frac{y}{x}$
[/mm]
$y'=z+xz'$
$z+xz'=z+4$
$xz'=4$
[mm] $\int \;dz=4*\int\frac{1}{x}\;dx$
[/mm]
$z=4*ln|x|+C$
$y=(4*ln|x|+C)*x$
LG, Martinius
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Danke schön - so, wie ich an der Aufgabe sehe höre ich für heute auf!
Verdammt - so leicht...
Danke nochmal!
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