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| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösungen des folgenden Systems mit Anfangsbedingungen:
[mm]\begin {cases}
x_1' = 4x_1 -3x_2 , x_1(0)= 2 \\
x_2' = 2x_1 -x_2 , x_2 (0) = 1
\end{cases} [/mm] |
Guten Morgen,
ich würde mich freuen wenn jemand über meinen Lösungsansatz drüberguckt und evtl sogar noch korrigiert.
Das wäre mein Ansatz im ersten Schritt:
[mm] \binom {x_1'} {x_2'} =
\begin {pmatrix}
4 -3 \\
2 -1
\end {pmatrix} * \binom {x_1} {x_2}
[/mm]
Weiter gehts mit dem 'umschreiben' der Matrix:
[mm] A:=
\begin {pmatrix}
4 -3 \\
2 -1
\end {pmatrix}
= SJS^-^1 [/mm]
Wobei S die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren sein soll.
Das inverse eben jener Matrix wäre dann der nächste Schritt
Vorher sollte ich evtl noch erwähnen:
Eigenwerte: [mm]
\lambda_1 = 1 \\ ,
\lambda_2 = 2 \\ ,
V_1 = \binom {1} {1} \\ ,
V_2 = \binom {3} {2} [/mm]
[mm] \left (
\begin {matrix}
1 & 3 \\
1 & 2
\end {matrix}
\left |
\begin {matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end {matrix}
\right )
\right.
->
\left (
\begin {matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end {matrix}
\left |
\begin {matrix}
-2 & 3 \\
1 & -1
\end {matrix}
\right )
\right.
[/mm]
Letztlich folgt dann nurnoch der Ansatz:
[mm]exp(tA) = S*exp(tJ) * S^-^1 [/mm] mit J als Diagonalisierte Matrix mit Eigenwerten 2 und 1.
Die Anfangsbedingungen mit eingerechnet komme ich auf folgende Lösung:
[mm] \binom {x_1'}{x_2'} = \binom {-e^t+3e^2^t}{-e^t+2e^2^t} [/mm]
Stimmt das einigermaßen?
Liebe Grüße
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Hallo Killercat,
> Bestimmen sie die Lösungen des folgenden Systems mit
> Anfangsbedingungen:
> [mm]\begin {cases}
x_1' = 4x_1 -3x_2 , x_1(0)= 2 \\
x_2' = 2x_1 -x_2 , x_2 (0) = 1
\end{cases}[/mm]
>
> Guten Morgen,
>
> ich würde mich freuen wenn jemand über meinen
> Lösungsansatz drüberguckt und evtl sogar noch
> korrigiert.
>
> Das wäre mein Ansatz im ersten Schritt:
> [mm]\binom {x_1'} {x_2'} =
\begin {pmatrix}
4 -3 \\
2 -1
\end {pmatrix} * \binom {x_1} {x_2}
[/mm]
>
> Weiter gehts mit dem 'umschreiben' der Matrix:
>
> [mm]A:=
\begin {pmatrix}
4 -3 \\
2 -1
\end {pmatrix}
= SJS^-^1[/mm]
>
> Wobei S die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren sein
> soll.
>
> Das inverse eben jener Matrix wäre dann der nächste
> Schritt
> Vorher sollte ich evtl noch erwähnen:
> Eigenwerte: [mm]
\lambda_1 = 1 \\ ,
\lambda_2 = 2 \\ ,
V_1 = \binom {1} {1} \\ ,
V_2 = \binom {3} {2}[/mm]
>
> [mm]\left (
\begin {matrix}
1 & 3 \\
1 & 2
\end {matrix}
\left |
\begin {matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end {matrix}
\right )
\right.
->
\left (
\begin {matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end {matrix}
\left |
\begin {matrix}
-2 & 3 \\
1 & -1
\end {matrix}
\right )
\right.
[/mm]
>
> Letztlich folgt dann nurnoch der Ansatz:
> [mm]exp(tA) = S*exp(tJ) * S^-^1[/mm] mit J als Diagonalisierte
> Matrix mit Eigenwerten 2 und 1.
>
> Die Anfangsbedingungen mit eingerechnet komme ich auf
> folgende Lösung:
> [mm]\binom {x_1'}{x_2'} = \binom {-e^t+3e^2^t}{-e^t+2e^2^t}[/mm]
>
Das sollte doch lieber so geschrieben werden:
[mm]\binom {x_1}{x_2} = \binom {-e^t+3e^2^t}{-e^t+2e^2^t}[/mm]
Sonst stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das einigermaßen?
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 So 25.05.2014 | | Autor: | Killercat |
Okay, vielen dank :)
Liebe Grüße
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