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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1. Ordnung
DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Mi 12.09.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung:

y ' +2y = [mm] 4x^2 [/mm] -2


Moin Moin.

ich stehe gerade aufm Schlauch!

Wie gehe ich hier am besten vor?

Muss ich hier die Variablen trennen?  Und wenn ja wie?


Löse ich die Gleichung zuerst nach y ' auf? Und was mache ich dann?


Oder kann ich den Ausdruck sofort integrieren?


Vielen Dank für eure Hilfe!!




Ich habe gefunden: die allgemeinen Lösungen sind die Summe der homogenen plus der partikularen Lösungen.




Idee

Ich könnte aus der DGL eine homogene DGL machen...

y ' + 2y = 0  

Nur, wie finde ich dann die (homogenen) Lösungen ???




Noch ne Idee...


y ' = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm]

Allerdings, wie kann ich dann die Variablen trennen???







        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Mi 12.09.2018
Autor: leduart

Hallo
löse die homogene Dgl durch Hinsehen oder  Trennung der Variablen. Danach Ansatz von Art der rechten Seite [mm] y_p=Ax^2+Bx [/mm] +C oder durch Variation der Konstanten-
Gruß leduart

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DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mi 12.09.2018
Autor: chrisno


>  
> Ich könnte aus der DGL eine homogene DGL machen...
>  
> y ' + 2y = 0  
>

Ein erster Schritt

> Nur, wie finde ich dann die (homogenen) Lösungen ???
>  
>
> y ' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]
>  
> Allerdings, wie kann ich dann die Variablen trennen???

Wie üblich: alles mit y auf die eine Seite, alles mit x auf die andere.
Also erst einmal 2y nach rechts, dann geht es mit Multiplizieren weiter.

Allerdings hat Dir leduart schon den Tipp mit dem Hinsehen gegeben:
Gesucht ist eine Funktion,
die einmal abgeleitet wieder entsteht, nur mit einem Faktor -0,5 davor.
Welche Funktion entsteht beim Ableiten wieder?
Wie muss die verändert werden, dass beim Ableiten noch der Faktor -0,5 hervor kommt?

Bezug
                
Bezug
DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:07 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh

Entschuldigung, mit dem Hinsehen bringt ja nichts, da ich die Struktur im Moment nicht erkenne!

Ok. Dann probiere ich mal die homogene Lösung zu finden...


y ' + 2 y = 0

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - 2y     |   *dx  :-2y

- 0,5 [mm] *\bruch{1}{y} [/mm] = dx

-0,5 * [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ dx} [/mm]

-0,5* ln(y) + [mm] C_1 [/mm]  = x + [mm] C_2 [/mm]


Ist das soweit richtig? Wie geht es dann weiter?

-0,5* ln(y) + [mm] C_1 [/mm]  = x + [mm] C_2 [/mm]

ln(y) = -2 (x + [mm] C_2 [/mm] - [mm] C_1) [/mm]

y = [mm] e^{-2 (x + C_2 - C_1)} [/mm]    ???




Bezug
                        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Do 13.09.2018
Autor: chrisno


> Entschuldigung, mit dem Hinsehen bringt ja nichts, da ich
> die Struktur im Moment nicht erkenne!

Kennst Du wirklich nicht die Funktion, die nach dem Ableiten wieder selbst da steht?

>
> Ok. Dann probiere ich mal die homogene Lösung zu
> finden...
>  
>
> y ' + 2 y = 0
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - 2y     |   *dx  :-2y
>  
> - 0,5 [mm]*\bruch{1}{y}[/mm] = dx
>  
> -0,5 * [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{y} dy}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{ dx}[/mm]
>  
> -0,5* ln(y) + [mm]C_1[/mm]  = x + [mm]C_2[/mm]
>  
>
> Ist das soweit richtig? Wie geht es dann weiter?

Ja, aber Du hast nun zwei additive Konstanten. Das macht es unnötig kompliziert.

>  
> -0,5* ln(y) + [mm]C_1[/mm]  = x + [mm]C_2[/mm]
>  
> ln(y) = -2 (x + [mm]C_2[/mm] - [mm]C_1)[/mm]

Setze nun [mm] $C_2 [/mm] - [mm] C_1 [/mm] = C$

>  
> y = [mm]e^{-2 (x + C_2 - C_1)}[/mm]    ???
>  

Also  y = [mm]e^{-2 (x + C)}[/mm]
Mit einem anderen C geht auch  y = [mm]C e^{-2 x}[/mm]

>

Probier es aus, indem Du ableitest.


Bezug
                                
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DGL 1. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh


> > Entschuldigung, mit dem Hinsehen bringt ja nichts, da ich
> > die Struktur im Moment nicht erkenne!
>
> Kennst Du wirklich nicht die Funktion, die nach dem
> Ableiten wieder selbst da steht?

Ich glaube, du hast immer noch nicht verstanden, dass ich keinen Zusammenhang beim Hinsehen erkenne.

Genausogut hättest du fragen können, "Kennst du denn nicht Einsteins Energiegleichung?"

Ja, kenne ich auch, aber was hat das mit der Aufgabe zu tun???

Einstein sagt: "Man sieht nur, was man weiß!"


Die Antwort auf deine Frage ist:  Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion.

Und nein, genau diesen Zusammenhang mit der Aufgabe habe ich nicht erkannt, und wäre darauf auch nicht bei stundenlangem Hinsehen gekommen  !!!




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DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh

Ok, dann haben wir also jetzt die homogene Lösung, richtig?

y = [mm] C*e^{-2x} [/mm]

Wie geht es dann weiter?


[mm] y_p [/mm] = [mm] Ax^2 [/mm] + Bx + C

Und nun?

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Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Do 13.09.2018
Autor: leduart

Hallo
wenn du [mm] x^2=16 [/mm] x bestimmen sollst kannst du das doch auch durch hinsehen? da du hoffentlich (Ae^(r*t))'=Ar*e^(rt) fast so gut kennst wie dass [mm] 4^2=16 [/mm] ist heisst hinsehen aus  y'=r*y folgt  y=A*e^(rt).
ein Ansatz heisst immer, man muss einsetzen, also [mm] y_p' [/mm] bilden, einsetzen und Koeffizientenvergleich machen.
hast du wirklich noch nie ne lineare Dgl gelöst?
Gruß leduart

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DGL 1. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh

Schade, immer noch nicht verstanden. wenn ich es nicht sehe, dann sehe ich es nicht. So einfach ist das.


[mm] x^2 [/mm] = 16 x     Was soll jetzt das Beispiel?

Gehe davon aus, dass ich bestimmte Dinge erkennen kann, weil ich sie schon mal gesehen habe und die Struktur dahinter erkenne.

Und nochmal, ich bin gestern - auch durch Hinsehen - nicht auf den Zusammenhang mit der e-Funktion gekommen.

Für dich ein offensichtliches Moment, für mich nicht.

Auch deswegen frage ich. Wo ist das Problem?


Und nun ja, eine DGL habe ich das letzte Mal vor ein paar Jahren gelöst.







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Bezug
DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh

[mm] y_p [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] +bx +c

[mm] y_p [/mm] ' = 2ax +b  


reicht das?


Einsetzen

2ax +b + [mm] 2*(ax^2 [/mm] +bx +c) = [mm] 4x^2 [/mm] - 2

2ax +b [mm] +2ax^2 [/mm] +2bx +2c = [mm] 4x^2 [/mm] - 2

[mm] x^2*(2a) [/mm] +x*(2a+2b) +2c = [mm] 4x^2 [/mm] - 2


2a = 4  
a = 2

2a+2b = 0
b= -2

2c = - 2
c = -1


[mm] y_p [/mm] = [mm] 2x^2 [/mm] - 1

allgemeine Lösung

[mm] y_A [/mm] =  [mm] C*e^{-2x} [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - 1


richtig?


Bezug
                                                        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Do 13.09.2018
Autor: Martinius

Moin moin,

> [mm]y_p[/mm] = [mm]ax^2[/mm] +bx +c
>  
> [mm]y_p[/mm] ' = 2ax +b  
>
>
> reicht das?
>  
>
> Einsetzen
>  
> 2ax +b + [mm]2*(ax^2[/mm] +bx +c) = [mm]4x^2[/mm] - 2
>  
> 2ax +b [mm]+2ax^2[/mm] +2bx +2c = [mm]4x^2[/mm] - 2
>  
> [mm]x^2*(2a)[/mm] +x*(2a+2b) +2c = [mm]4x^2[/mm] - 2


Du hast das b vergessen.


[mm] $x^2*(2a) [/mm] +x*(2a+2b) +(b+2c) [mm] \;=\; 4x^2 [/mm] - 2$

  

>
> 2a = 4  
> a = 2
>  
> 2a+2b = 0
> b= -2
>
> 2c = - 2
>  c = -1
>  
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]2x^2[/mm] - 1
>  
> allgemeine Lösung
>  
> [mm]y_A[/mm] =  [mm]C*e^{-2x}[/mm] + [mm]2x^2[/mm] - 1
>  
>
> richtig?


LG, Martinius  


Bezug
                                                                
Bezug
DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:57 Fr 14.09.2018
Autor: hase-hh

Moin,

> > Einsetzen

I.  2ax +b + [mm]2*(ax^2[/mm] +bx +c) = [mm]4x^2[/mm] - 2

>  >  

II.  2ax +b [mm]+2ax^2[/mm] +2bx +2c = [mm]4x^2[/mm] - 2

>  >  

> > [mm]x^2*(2a)[/mm] +x*(2a+2b) +2c = [mm]4x^2[/mm] - 2
> Du hast das b vergessen.

oh, Danke!

III.  [mm]x^2*(2a) +x*(2a+2b) +(b+2c) \;=\; 4x^2 - 2[/mm]
  


2a = 4  
a = 2
  
2a+2b = 0
b= -2

b+2c = - 2
c = 0


[mm]y_p[/mm] = [mm]2x^2[/mm] -2x +0
  
allgemeine Lösung
  
[mm]y_A[/mm] =  [mm]C*e^{-2x}[/mm] + [mm]2x^2[/mm]  -2x +0
  



Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Fr 14.09.2018
Autor: fred97


> Moin,
>  
> > > Einsetzen
>  
> I.  2ax +b + [mm]2*(ax^2[/mm] +bx +c) = [mm]4x^2[/mm] - 2
>  >  >  
>
> II.  2ax +b [mm]+2ax^2[/mm] +2bx +2c = [mm]4x^2[/mm] - 2
>  >  >  
>
> > > [mm]x^2*(2a)[/mm] +x*(2a+2b) +2c = [mm]4x^2[/mm] - 2
>  > Du hast das b vergessen.

>  
> oh, Danke!
>  
> III.  [mm]x^2*(2a) +x*(2a+2b) +(b+2c) \;=\; 4x^2 - 2[/mm]
>    
>
>
> 2a = 4  
> a = 2
>    
> 2a+2b = 0
> b= -2
>
> b+2c = - 2
>  c = 0
>  
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]2x^2[/mm] -2x +0
>    
> allgemeine Lösung
>    
> [mm]y_A[/mm] =  [mm]C*e^{-2x}[/mm] + [mm]2x^2[/mm]  -2x +0

Jetzt stimmts

>    
>
>  


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