DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 16.07.2009 | | Autor: | Memorius |
| Aufgabe | Eine Vase in Form eines Rotationsparaboloiden (ein Rotationsparaboloid ist ein Körper, der
entsteht in dem man eine Parabel der Form y = [mm] x^{2} [/mm] um die y-Achse rotieren lässt) ist 100 cm hoch
mit Wasser gefüllt. Am Boden ist eine kreisrunde Öffnung mit Durchmesser 1 cm, die mit einem
Schieber verschlossen ist. Wie lange dauert es bis die Vase leer ist, wenn der Schieber geöffnet
ist?
Der Flüssigkeitsspiegel hat die Form eines Kreises.
Am Anfang hat der Flüssigkeitsspiegel die Höhe h = 100 cm.
Abfussgeschwindigkeit: v(t) = 20 [mm] *\wurzel{5y(t)} [/mm] cm/s
wobei y(t) die aktuelle Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem Auslass ist. |
Hallo!
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die DGL überhaupt richtig aufgestellt habe:
Der Wasserspiegel hat die Form eines Kreises mit dem Durchmesser d(t).
Damit ist die Fläche A(t) = [mm] \bruch{\pi*d(t)}{4}
[/mm]
Die Höhe des Wasserspiegels ist y(t) mit y(0) = 100cm. Dabei hängt d(t) von y(t) ab.
Es gilt: [mm] \bruch{d(t)}{d^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{y(t)}{h^{2}}, [/mm] also d(t) = [mm] \bruch{y(t)*d^{2}}{h^{2}}, [/mm] d ist der Durchmesser der Wasserfläche bei t = 0 (Schieber geschlossen)
Das im Zeitinterval [mm] [y(t)-y(t+\Delta [/mm] t)] abgeflossene Volumen ist somit:
V(t) = A(t) [mm] *[y(t)-y(t+\Delta [/mm] t)] = [mm] \bruch{pi*d(t)*[y(t)-y(t+\Delta t)]}{4}
[/mm]
Die Abflussmenge durch den Abfluß beträgt andererseits:
V(t) = Querschnitt Q * Fließgeschwindigkeit v(t) * Zeiteinheit =
Q*v(t) * [mm] \Delta [/mm] t = Q * 20 [mm] \wurzel{5y(t)} [/mm] * [mm] \Delta [/mm] t
Durch Gleichsetzen:
[mm] [y(t)-y(t+\Delta [/mm] t)] * [mm] \bruch{\pi*d^{2}}{4*h^{2}} [/mm] * y(t) = Q * 20 * [mm] \wurzel{5y(t)} [/mm] * [mm] \Delta [/mm] t
=> [mm] \bruch{[y(t+\Delta t) - y(t)]}{\Delta t} [/mm] = - [mm] 80*Q*\wurzel{5}*y^{-\bruch{1}{2}}(t)*\bruch{h^{2}}{d^{2}*\pi}
[/mm]
Durch Grenzübergang erhält man die DGL:
y' = [mm] 80*Q*\wurzel{5}*y^{-\bruch{1}{2}}(t)*\bruch{h^{2}}{d^{2}*\pi}
[/mm]
Lösung: Trennung der Veränderlichen
[mm] y^{\bruch{1}{2}}(t) [/mm] dy = [mm] -80*Q*\wurzel{5}*\bruch{h^{2}}{d^{2}*\pi} [/mm] dt
Integration führt auf
[mm] \integral_{}^{}{y^{\bruch{1}{2}}(t) dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-80*Q*\wurzel{5}*\bruch{h^{2}}{d^{2}*\pi} dt}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}*y^{\bruch{3}{2}}(t) [/mm] = [mm] -80*Q*\wurzel{5}*\bruch{h^{2}}{d^{2}*\pi} [/mm] * t + C
Soweit. Der Rest sieht dann so aus, dass man nach y(t) auflöst, konkrete Werte ein- und y(t) Null setzt und die geforderte Zeiteinheit t berechnet.
Jemand irgendwelche Anregungen zu meinem Lösungsvorschlag?
Danke im Voraus
Memorius
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Fr 17.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. eine Kreisfoermiger Querschnitt hat die Flaeche [mm] \pi*d^2/4
[/mm]
deine Grundflaeche in [mm] cm^2 [/mm] aendert sich dadurch zwar nicht also ist die Menge die in dt durchfliesst [mm] \pi/4*1cm^2*v(y)*dt
[/mm]
dabei aendert sich das volumen um dV
[mm] V(y)=\pi*\integral_{0.25}^{y}{y dy}=\pi/2*(y^2-1)
[/mm]
daraus [mm] dV/dy=\pi*oder dV=\pi*y*dy
[/mm]
jetzt [mm] dV=\pi/4*1cm^2*v(y)*dt
[/mm]
Bei dir versteh ich nicht:
Es gilt: $ [mm] \bruch{d(t)}{d^{2}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{y(t)}{h^{2}}, [/mm] $ also d(t) = $ [mm] \bruch{y(t)\cdot{}d^{2}}{h^{2}}, [/mm] $
Wenn du dden Durchmesser in Hohe y haben willst, dann hast du doch ne parabel (ich hoff es ist ne Parabel [mm] y=x^2?
[/mm]
wenn sie bei y=0 mit 1cm Durchmesser anfaengt, also x=1/2 y=1/4 dann hat sie bei y doch den Durchmesser 2x mit [mm] y=x^2
[/mm]
also den Durchmesser [mm] 2*\wurzel{y}
[/mm]
wie gesagt, deine Rechnung versteh ich nicht.
auch den Satz :
Das Zeitinterval des abgeflossenen Volumens ist somit:
damit meinst du wohl, das pro Zeitintervall geaenderte Volumen [mm] \Delta [/mm] V
Ausser deiner Beziehung fuer d(t) die ich nicht verstehe hast du wohl richtig argumentiert.
Wenn du deine Dgl geloest hast, muesst da noch ne Konstante drin stehen so dass y(0)=0.25+h rauskommt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Memorius |
<<Das Zeitinterval des abgeflossenen Volumens ist somit:
<<damit meinst du wohl, das pro Zeitintervall geaenderte Volumen $ [mm] \Delta [/mm] $ <<V
Japp. Vertippt.
<<Es gilt: $ [mm] \bruch{d(t)}{d^{2}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{y(t)}{h^{2}}, [/mm] $ also d(t) <<= $ [mm] \bruch{y(t)\cdot{}d^{2}}{h^{2}}, [/mm] $
<<Wenn du dden Durchmesser in Hohe y haben willst, dann hast du doch <<ne parabel (ich hoff es ist ne Parabel $ [mm] y=x^2? [/mm] $
<<wenn sie bei y=0 mit 1cm Durchmesser anfaengt, also x=1/2 y=1/4 <<dann hat sie bei y doch den Durchmesser 2x mit $ [mm] y=x^2 [/mm] $
<<also den Durchmesser $ [mm] 2\cdot{}\wurzel{y} [/mm] $
Da stimmt. Jetzt weiß ich leider auch nicht, wie ich da rein meinen Anfangsdurchmesser d und und meine Anfangshöhe h einbringen soll. Denn das Wasser sinkt ja schlißelich und steigt nicht, wie deine Formel es beschreibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Fr 17.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte nen Vorzeichenfehler.
Massenerhaltung ergibt dass die Summe der 2 dV 0 gibt. also
[mm] dV=-A_0*v(y)*dt
[/mm]
Dann kriegst du sowas wie [mm] y^{3/2}=C-A*t [/mm] A aus den gegebenen Daten, C zu bestimmen.
Die Dgl selbst ist von der Anfangshoehe (und damit Anfangsdurchmesser der oberen Wasserflaeche) unabhaengig.
die allgemeine Loesung enthaelt doch noch C dadurch wird die Anfangsbed. dann erfuellt. wenn du y(0)=100,25 einsetzt.
gesucht ist dann t fuer y=0.25
ich stell mir die Parabolflaeche mit Scheitel bei y=0 vor, dann ist das Ausflussloch bei x=1/2, y=1/4
ob die Anfangshoehe 100cm gegenueber dem scheitel oder gegenueber dem loch gemeint ist ist nicht ganz eindeutig.
je nachdem hast du dann y(0)=100 oder y(0)=100,25
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> ich stell mir die Parabolflaeche mit Scheitel bei y=0 vor,
> dann ist das Ausflussloch bei x=1/2, y=1/4
> ob die Anfangshoehe 100cm gegenueber dem scheitel oder
> gegenueber dem loch gemeint ist ist nicht ganz eindeutig.
> je nachdem hast du dann y(0)=100 oder y(0)=100,25
... ich würde auf diese "Feinheit" verzichten ...
(angesichts der übrigen Ungenauigkeiten des
Modells bezüglich Ausflussgeschwindigkeit
durch das enge Loch etc.)
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Memorius |
Wie man die DGL löst, ist ja keine Frage.
Das Aufstellen der selbigen macht mir Probleme.
Ich habe ein momentanes A(t) ausgedrückt durch A(t) = A(t) = $ [mm] \bruch{\pi\cdot{}d(t)}{4} [/mm] $
Dabei hängt d(t) ja von der momentanen Höhe y(t) ab.
Wie drücke ich nun d(t) durch y(t) aus, sodass ich es in die Formel A(t) = $ [mm] \bruch{\pi\cdot{}d(t)}{4} [/mm] $ einsetzen kann?
Nach meinem Verständnis besteht zwischen y(t) und d(t) eine Verbindung abhängig von dem Anfangsdurchmesser d und der Anfangshöhe h.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 17.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
liest du eigentlich posts?
im ersten hab ich schon geschrieben
[mm] A=\pi/4*d^2
[/mm]
jetzt schreibst du wieder A(t) = $ [mm] \bruch{\pi\cdot{}d(t)}{4} [/mm] $
bei [mm] y=x^2 [/mm] ist doch x der jeweilige Radius, also x=d/2
damit ist klar, wie der Oberflaechenkreis von y abhaengt. Auch das hatte ich geschrieben. [mm] d(y)=2*\wurzel{y}
[/mm]
das braucht man zwar nicht, wenn man V(y) kennt, aber man kann es benutzen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Memorius |
Ja, aber ich kann nicht nachvollziehen, wieso bei dir A aufeinmal konstant ist.
Schließlich ändert sich die Wasserspiegelfläche in Abhängigkeit der Zeit, in der das Wasser abfließt. Und wenn ich diese Fläche in die Volumenberechnung einbringen will, so muss sie ja auch variabel sein.
>>d(y) = [mm] 2*\wurzel{y}
[/mm]
Meinst du vll d(t) = [mm] 2*\wurzel{y(t)}? [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Fr 17.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das A in der Dgl steht fuer irgendeine Konstante also nicht flaeche.
das d ist doch von y und damit auch von t abhaengig, versteh also deine Frage nicht sehr.
und warum brauchst du A(t) wobei A die Flaeche in Hoehe y ist?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Eine Vase in Form eines Rotationsparaboloiden
> ist 100 cm hoch mit Wasser gefüllt. Am Boden
> ist eine kreisrunde Öffnung mit Durchmesser
> 1 cm, die mit einem Schieber verschlossen ist.
> Wie lange dauert es bis die Vase leer ist, wenn
> der Schieber geöffnet ist?
Da fehlt doch eine wichtige Angabe: die genaue
Beschreibung der Form der Vase !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Memorius |
Hab nun alles eingefügt, was mir zur Verfügung stand.
|
|
|
|
