DGL 1. Ordnung - Homogene DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 14.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
| Aufgabe | Lösen sie folgende DGL:
y´ = [mm] \bruch{3x^{2}+4x+2}{2(y-1)}
[/mm]
AB: y(0)=1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, oben gestellte Aufgabe kam vor kurzem in meiner Mathe Klausur dran und ich kam und kam einfach nicht auf den Ansatz für die Homogene DGL. Bei der AB bin ich mir nicht ganz sicher, ob sie so richtig war, allerdings ist das für mich auch eher nebensächlich, da es mir hauptsächlich um die Homogene DGL geht. Ich habe vieles versucht und konnte nicht den richtigen Ansatz finden... Ich bin zu dem Entschluss gekommen, dass die Homogene DGL durch Substitution aufzustellen ist, liege ich damit richtig? Aber auch da fehlt mir der richtige Ansatz. Für eine ersten Ansatz wäre ich sehr dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 14.02.2012 | | Autor: | al3pou |
Hiho,
also wenn ich das richtig sehe, ist das nicht schwer. Hast
du schonmal über eine DGL mit getrennten Veränderlichen
nachgedacht?
Kannst ja auch schreiben:
y' = [mm] (3x^{2} [/mm] + 4x + 2) * [mm] \bruch{1}{2}(y [/mm] - [mm] 1)^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] (3x^{2} [/mm] + 4x + 2) * [mm] \bruch{1}{2}(y [/mm] - [mm] 1)^{-1}
[/mm]
Damit bist du schon fast fertig und müsstest jetzt nur noch
integrieren.
Gruß
al3pou
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Di 14.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
Das ist ja schon fast peinlich.... Von Anfang an habe ich den Zähler als Störfunktion betrachtet und deshalb auch solche Überlegungen angestellt. Man sollte sich bewusst sein, was eine Division bedeutet... Das waren natürlich sehr leicht verschenkte Punkte.
Danke für die Anregung, auch wenn du wohl nicht mal einen Moment drüber nachdenken musstest ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 23.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
Wir haben die Aufgabe nochmal im kleinen Kreis versucht durchzurechnen und waren uns irgendwie nicht ganz einig.
Ist es richtig, dass es folgendermaßen aussieht:
[mm] \integral_{a}^{b}{2(y-1) dy} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{3x^2+4x+2 dx}
[/mm]
=> [mm] y^2-2y [/mm] = [mm] x^3+2x^2+2x [/mm] + K
Ist das Ergebnis soweit richtig, oder habe ich da irgendwo einen Fehler drin?
Wenn es so richtig ist, wie kann ich nun meine AB einbauen? Das [mm] y^2 [/mm] stört mich dabei und ich weiß da nun keinen Ansatz für die Berechnung von K
|
|
|
| |
|
Hallo Dev123,
> Wir haben die Aufgabe nochmal im kleinen Kreis versucht
> durchzurechnen und waren uns irgendwie nicht ganz einig.
> Ist es richtig, dass es folgendermaßen aussieht:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{2(y-1) dy}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{3x^2+4x+2 dx}[/mm]
Ohne Grenzen!
>
> => [mm]y^2-2y[/mm] = [mm]x^3+2x^2+2x[/mm] + K ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist das Ergebnis soweit richtig, oder habe ich da irgendwo
> einen Fehler drin?
> Wenn es so richtig ist, wie kann ich nun meine AB
> einbauen? Das [mm]y^2[/mm] stört mich dabei und ich weiß da nun
> keinen Ansatz für die Berechnung von K
Du musst nach [mm]y[/mm] auflösen; addiere mal auf beiden Seiten eine 1, dann fällt dir was auf.
Am Ende einfach die AB einsetzen [mm]y(0)=1[/mm] und daraus das [mm]K[/mm] berechnen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 23.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
Die Integrale natürlich ohne Grenzen ;)
Achja, die Binomischen Formeln... lange haben sie einen in der Schulzeit verfolgt.
Darf ich denn nach Anwenden der Binomischen Formel einfach Die Wurzel auf beiden Seiten ziehen und die -1 vom [mm] (y-1)^2 [/mm] dann auf die andere Seite bringen und zur Konstante hinzufügen?
Meine Lösung wäre dann (ohne AB)
y = [mm] \wurzel{x^3+2x^2+2x+K}
[/mm]
Die Konstante muss unter der Wurzel stehen bleiben oder? Aber wenn es soweit richtig ist, kann ich ja ohne größere Probleme die AB einsetzen
|
|
|
| |
|
Hallo,
da stimmt einiges nicht. Ganz offensichtlich müssen beim Wurzelziehen beide mögliche Vorzeichen berücksichtigt werden (weshalb)?
Außerdem steht ja nach dem Wurzelziehen da immer noch
[mm] y-1=\pm\wurzel{x^3+2x^2+2x+K}
[/mm]
d.h., die 1 muss noch auf die andere Seite.
Zu guter letzt muss die Anfangsbedingung eingesetzt werden: erst dann bekommst du eine eindeutige Lösung, eine besonders einfache, wenn man so will. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 23.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
Natürlich, die negative Wurzel muss auch betrachtet werden und die 1 erst im Nachhinein addiert werden.
also ist
y = [mm] \wurzel{x^3+2x^2+2x+K} [/mm] +1
Mit meiner AB: y(0)-1 (nicht +1 wir oben in der Aufgabenstellung)
K = [mm] \pm [/mm] 2
und damit
y(x) = [mm] \wurzel{x^3+2x^2+2x \pm 2} [/mm] +1
nun aber? ;)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Natürlich, die negative Wurzel muss auch betrachtet werden
> und die 1 erst im Nachhinein addiert werden.
> also ist
> y = [mm]\wurzel{x^3+2x^2+2x+K}[/mm] +1
wie gesagt: vor die Wurzel muss noch eine Vorzeichen-Fallunterscheidung.
> Mit meiner AB: y(0)-1 (nicht +1 wir oben in der
> Aufgabenstellung)
>
> K = [mm]\pm[/mm] 2
>
> und damit
>
> y(x) = [mm]\wurzel{x^3+2x^2+2x \pm 2}[/mm] +1
>
> nun aber? ;)
nein, dies ist falsch: wenn y negative Werte annehmen soll, so ist damit ersteinmal klar, welches der beiden Vorzeichen für die Wurzel zu wählen ist. Und damit bestimmt man dann leicht einen eindeutigen Wert für K, allerdings weder 2 noch -2.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 23.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
Das [mm] \pm [/mm] schon wieder vergessen und auch die 2 zu quadrieren...
y = [mm] \pm \wurzel{x^3+2x^2+2x+K} [/mm] +1
für y(0)=-1 folgt:
-1 = [mm] \pm \wurzel{K} [/mm] +1
=> K = 4 (aus dem [mm] \pm [/mm] wird beim quadrieren ein + oder?)
also
y(x) = [mm] \pm \wurzel{x^3+2x^2+2x+4} [/mm] +1
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Das [mm]\pm[/mm] schon wieder vergessen und auch die 2 zu
> quadrieren...
>
> y = [mm]\pm \wurzel{x^3+2x^2+2x+K}[/mm] +1
>
> für y(0)=-1 folgt:
>
> -1 = [mm]\pm \wurzel{K}[/mm] +1
>
> => K = 4 (aus dem [mm]\pm[/mm] wird beim quadrieren ein + oder?)
>
> also
> y(x) = [mm]\pm \wurzel{x^3+2x^2+2x+4}[/mm] +1
Als Lösung kommt nur [mm]y(x)=\red{-}\sqrt{x^3+2x^2+2x+4}+1[/mm] infrage, die positive Wurzel würde für [mm]y[/mm] nur positive Werte liefern, die Anfangsbedingung wäre also verletzt.
Nun gib zum Abschluss mal die vollst. Lösung der gegebenen Anfangswertproblems an mit Definitionsbereich und allem Pipapo...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Do 23.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
Ich fange mal hier an:
y = [mm] \pm \wurzel{x^3+2x^2+2x+K} [/mm] +1
Mit AB: y(0)=-1 ist K=4
y(x) = [mm] -\wurzel{x^3+2x^2+2x+4} [/mm] +1
mit x [mm] \in \IR \ge-2
[/mm]
Reicht das als Definitionsbereich? x darf nicht kleiner als -2 sein, sofern es nicht komplex werden soll. Das wäre die vollständige Lösung, oder gibt es noch mehr zu definieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Do 23.02.2012 | | Autor: | Dev123 |
> Komische Schreibweise, du meinst bestimmt [mm]x\in\IR^{\ge -2}[/mm]
> ?!
Wenn das so richtig, ist, dann meine ich das! ;)
Ich hätte eigentlich nur [mm] x\ge-2 [/mm] geschrieben. Würde das ausreichen oder muss darauf hingewiesen werden, dass x [mm] \in \IR [/mm] ist?
Das war nun eine schwere Geburt.... Vielen Dank an euch
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
>
> > Komische Schreibweise, du meinst bestimmt [mm]x\in\IR^{\ge -2}[/mm]
> > ?!
>
> Wenn das so richtig, ist, dann meine ich das! ;)
> Ich hätte eigentlich nur [mm]x\ge-2[/mm] geschrieben. Würde das
> ausreichen oder muss darauf hingewiesen werden, dass x [mm]\in \IR[/mm]
> ist?
Aus [mm]\IR[/mm] stimmt ja nicht, der Radikant unter der Wurzel da muss ja [mm]\ge 0[/mm] sein, das ist nur für [mm]x\in\IR, x\ge -2[/mm] so
Du kannst die Lösung ganz formal etwa so angeben:
[mm]y:[-2,\infty)\to\IR, x\mapsto 1-\sqrt{x^3+2x^2+2x+4}[/mm] löst das gegebene Anfangswertproblem
[mm]y'=\frac{3x^2+4x+2}{2(y-1)}, y(0)=-1[/mm]
Sowas in der Art macht sich als Schlusszeile immer gut 
>
> Das war nun eine schwere Geburt.... Vielen Dank an euch
Immerhin ist das Kind nun auf der Welt ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
