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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 1. Ordnung Integral
DGL 1. Ordnung Integral < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 1. Ordnung Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Sa 18.07.2009
Autor: paul87

Aufgabe
Geben Sie die allgemeine Lösung der DGL

[mm] y'-\bruch{y}{x}=\bruch{2x^{2}+2x}{(x-1)(x^{2}+3)} [/mm]

an.

Ich habe erst die homogene Lösung bestimmt und dann die inhomogene.

dann bekomm ich für [mm] K'(x)=\bruch{2x+2}{(x-1)(x^{2}+3)} [/mm]

um K(x) zu bekommen wollte ich integrieren durch partialbruchzerlegung.

[mm] K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^{2}+3} dx} [/mm]

jetzt weis ich aber nicht wie ich das zweite integral lösen soll. oder hab ich vorher schon was falsch gemacht?

        
Bezug
DGL 1. Ordnung Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Sa 18.07.2009
Autor: MathePower

Hallo paul87,

> Geben Sie die allgemeine Lösung der DGL
>  
> [mm]y'-\bruch{y}{x}=\bruch{2x^{2}+2x}{(x-1)(x^{2}+3)}[/mm]
>  
> an.
>  Ich habe erst die homogene Lösung bestimmt und dann die
> inhomogene.
>
> dann bekomm ich für [mm]K'(x)=\bruch{2x+2}{(x-1)(x^{2}+3)}[/mm]
>  
> um K(x) zu bekommen wollte ich integrieren durch
> partialbruchzerlegung.
>  
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1-x}{x^{2}+3} dx}[/mm]
>  
> jetzt weis ich aber nicht wie ich das zweite integral
> lösen soll. oder hab ich vorher schon was falsch gemacht?


Bis hier hin ist alles richtig.


Schreibe 1-x wie folgt:

[mm]1-x = \alpha*\left(x^{2}+3\right)'+2[/mm]

Von den dann entstehenden Integralen sollten
dann die Stammfunktionen bekannt sein:

[mm]\integral_{}^{}{\alpha \bruch{\left(x^{2}+3\right)'}{x^{2}+3}\ dx}= ... [/mm]

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{x^{2}+3}\ dx}= ... [/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL 1. Ordnung Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Sa 18.07.2009
Autor: paul87

das klingt ja einfach. aber wieso kann ich für 1-x einfach das ersetzen?

und was ist das für ein strich oben an [mm] (x^{2}+3)? [/mm]

aber schon mal vielen dank für die schnelle antwort.

gruß
paul

Bezug
                        
Bezug
DGL 1. Ordnung Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Sa 18.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Paul,

> das klingt ja einfach. aber wieso kann ich für 1-x einfach
> das ersetzen?
>
> und was ist das für ein strich oben an [mm](x^{2}+3)?[/mm]

Das ist die Ableitung.

Ziel ist es, das zunächst "schwierige" Integral [mm] $\int{\frac{1-x}{x^2+3} \ dx}$ [/mm] zu zerlegen in die Summe zweier einfacherer Integrale, von denen das erste ein logarithmisches Integral ist, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{g'(x)}{g(x)} \ dx}$, [/mm] wo also im Zähler die Ableitung des Nenners steht.

Denn eine Stammfunktion für diese Art Integrale ist bekannt, nämlich [mm] $\ln(|g(x)|) [/mm] \ +C$ (Herleitung per Substitution $u:=g(x)$ ...)

Konkret hier:

[mm] $\int{\frac{1-x}{x^2+3} \ dx}$ [/mm]

Multipliziere das mit [mm] $\frac{-2}{-2}$ [/mm] und du erhältst:

[mm] $...=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x-2}{x^2+3} \ dx}=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\left(\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}\right) \ dx}$ [/mm]

[mm] $=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x}{x^2+3} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{\frac{1}{x^2+3} \ dx}$ [/mm]

Nun ist das erste nach dem oben Gesagten ein logar. Integral, das kannste abhaken, das zweite ist eins mit [mm] $\arctan$ [/mm]

Substituiere so, dass du [mm] $M\cdot{}\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}$ [/mm] bekommst ...

(Klammere mal im Nenner [mm] $3=(\sqrt{3})^2$ [/mm] aus ...)

>  
> aber schon mal vielen dank für die schnelle antwort.
>  
> gruß
>  paul


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
DGL 1. Ordnung Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Sa 18.07.2009
Autor: paul87

super danke. echt super tolles forum.

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