DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | Lösen Sie die DGL x''(t)+x'(t)=2 mit den Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=1
a) auf "normalem" Weg
b) mit Hilfe der Laplace-Transformation |
Mein Ansatz ist: x [mm] =e^{\lambda*t}
[/mm]
[mm] x'=\lambda*e^{\lambda*t}
[/mm]
[mm] x''=\lambda^{2}*e^{\lambda*t}
[/mm]
allgemeine Lösung: [mm] \lambda^{2}*e^{\lambda*t}+\lambda*e^{\lambda*t}=0
[/mm]
Daraus folgt [mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Also [mm] \lamda_{1}=0 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
Da [mm] \lambda_{1}\not=\lambda_{2} [/mm] folgt für die Fundamentalbasis [mm] x_{1}=e^{\lambda_{1}*t=e^{0*t}=1} [/mm] und [mm] x_{2}=e^{\lambda_{2}*t=e^{-t}}
[/mm]
Somit ergibt sich für die allgemeine Lösung:
[mm] x(t)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*t}=C_{1}+C_{2}*e^{-t}
[/mm]
Habe ich bis hierher richtig gerechnet?
Soweit ich weiß, muss ich als nächstes eine partikuläre Lösung finden. Aber wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die DGL x''(t)+x'(t)=2 mit den
> Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=1
>
> a) auf "normalem" Weg
> b) mit Hilfe der Laplace-Transformation
> Mein Ansatz ist: x [mm]=e^{\lambda*t}[/mm]
> [mm]x'=\lambda*e^{\lambda*t}[/mm]
> [mm]x''=\lambda^{2}*e^{\lambda*t}[/mm]
>
> allgemeine Lösung:
> [mm]\lambda^{2}*e^{\lambda*t}+\lambda*e^{\lambda*t}=0[/mm]
>
> Daraus folgt
> [mm]\lambda_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Also [mm]\lamda_{1}=0[/mm] und [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
> Da [mm]\lambda_{1}\not=\lambda_{2}[/mm] folgt für die
> Fundamentalbasis [mm]x_{1}=e^{\lambda_{1}*t=e^{0*t}=1}[/mm] und
> [mm]x_{2}=e^{\lambda_{2}*t=e^{-t}}[/mm]
>
> Somit ergibt sich für die allgemeine Lösung:
>
> [mm]x(t)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*t}=C_{1}+C_{2}*e^{-t}[/mm]
>
> Habe ich bis hierher richtig gerechnet?
Ja
> Soweit ich weiß, muss ich als nächstes eine partikuläre
> Lösung finden. Aber wie?
Ich denke man sieht durch scharfes Hinsehen, dass $x(t)=2t$ eine spezielle Lösung ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
Hmm...Woran sehe ich das??
Weil x''(t)+x'(t)=2 ist, und die rechte Seite integriert 2t ergibt? Oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mo 05.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Allgemein zum Ansatz, falls die Inhomogenität ein Polynom ist:
Ist die Inhomogenität ein Polynom vom grad n, und ist k der kleinste Grad der kleinsten Ableitung von x(t), dann ist die Partikuläre Lösung ein Polynom vom Grad (n+k).
Also setzt du einfach so ein Polynom (mit n+k+1) Koeffizienten ein und machst Koeffizientenvergleich.
(FRED: Hoffe das ist so mathematisch relativ plus minus okay ausgedrückt)
Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
Das verstehe ich leider nicht.
Ok, ich gehe mal davon aus, das ich das Störglied als Polynom verstehen soll.
Also ist dann mein Ansatz [mm] y_p=a*t+b
[/mm]
Aber wie mach ich jetzt nen Koeffizientenvergleich?
Steh irgendwie auf dem Schlauch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 05.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja, A*x + B
Einsetzen:
0 + A = 2
Koeffizientenvergleich:
A = 2
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
OK. Erstmal Danke.
Ich setze also [mm] x_p=a*t+b [/mm] und setze das ganze gleich der rechten Seite der DGL.
Dann ergibt sich doch für [mm] x_p=2
[/mm]
und damit dann für die Lösung der DGL [mm] x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2
[/mm]
Ich muss aber doch noch irgendwie die Anfangsbedingungen mit einbeziehen, um die Konstanten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] zu bestimmen.
Wie mach ich das denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> OK. Erstmal Danke.
>
> Ich setze also [mm]x_p=a*t+b[/mm] und setze das ganze gleich der
> rechten Seite der DGL.
>
> Dann ergibt sich doch für [mm]x_p=2[/mm]
> und damit dann für die Lösung der DGL
> [mm]x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2[/mm]
Nein. Die allgemeine Lösung lautet:
[mm]x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2t[/mm]
>
> Ich muss aber doch noch irgendwie die Anfangsbedingungen
> mit einbeziehen, um die Konstanten [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] zu
> bestimmen.
Tu es doch !
E s ist $0=x(0) = [mm] C_1+C_2+2*0= C_1+C_2$
[/mm]
also
(1) $0= [mm] C_1+C_2+2*0= C_1+C_2$
[/mm]
Weiter ist $x'(t) = [mm] -C_2e^{-t}+2$
[/mm]
Also: $1=x'(0) = [mm] -C_2+2$
[/mm]
Somit
(2) $1= [mm] -C_2+2$
[/mm]
Nun berechne mit (1) und (2) die Zahlen [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2
[/mm]
FRED
>
> Wie mach ich das denn?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
Also die 2t sind mir ehrlich gesagt nicht ganz klar.
Mein Ansatz für die partikuläre Lösung ist doch [mm] x_p=a*t+b.
[/mm]
Ich dachte, das ganze muss ich mit der rechten Seite der DGL gleichsetzen. Also [mm] x_p=a*t+b=2
[/mm]
Wie komme ich darauf, dass die 2 dem a entspricht und nicht dem b?
Ist das so, weil ich die rechte Seite erst integrieren muss?
Das weitere Vorgehen ist mir klar.
Es ergibt sich für [mm] C_2=1 [/mm] und für [mm] C_1=-1
[/mm]
Also ist die gesuchte Lösung: [mm] x(t)=e^{-t}+2t-1 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also die 2t sind mir ehrlich gesagt nicht ganz klar.
> Mein Ansatz für die partikuläre Lösung ist doch
> [mm]x_p=a*t+b.[/mm]
>
> Ich dachte, das ganze muss ich mit der rechten Seite der
> DGL gleichsetzen. Also [mm]x_p=a*t+b=2[/mm]
Das ist doch Unfug ! [mm] x_p [/mm] soll doch Lösung der DGL sein ! Somit muß
[mm] $x_p''(t)+x_p'(t) [/mm] = 2$
also
$a=2$
gelten.
FRED
>
> Wie komme ich darauf, dass die 2 dem a entspricht und nicht
> dem b?
> Ist das so, weil ich die rechte Seite erst integrieren
> muss?
>
> Das weitere Vorgehen ist mir klar.
> Es ergibt sich für [mm]C_2=1[/mm] und für [mm]C_1=-1[/mm]
>
> Also ist die gesuchte Lösung: [mm]x(t)=e^{-t}+2t-1[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
OK. Vielen Dank.
Ich muss mich wohl noch intensiver mit DGL auseinandersetzen.
Klar muss die partikuläre Lösung die DGL erfüllen.
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