DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe gerade zwei DGL 2. Ordnung gelöst (hoffe ich zumindest). Es wäre nett, wenn dies kurz jemand überprüfen könnte.
1.) [mm] y''-4*y'+6=3*x^2+1
[/mm]
Lösung:
[mm] yh=C1*e^4*x+C2
[/mm]
yp=0
Allg. Lösung: y=yh
2.) [mm] y''-y=x^2-x
[/mm]
Lösung:
[mm] yh=C1*e^x+C2*e^{-x}
[/mm]
[mm] yp=-x^2-x
[/mm]
Allg. Lösung: [mm] y=(C1*e^x+C2*e^{-x})-x^2-x
[/mm]
Danke schonmal.
Gruß
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Hallo,
danke für die Antwort. Habe nun Aufgabe 1 wie folgt gelöst:
[mm] y_h=C_1*e^{4*x}+C_2
[/mm]
[mm] y_p=x*(-0,25*x^2-0,1875*x+1,156)
[/mm]
Allg. Lösung: [mm] y=C_1*e^{4*x}+C_2-0,25*x^3-0,1875*x^2+1,156*x)
[/mm]
Ist das jetzt korrekt?
Gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort. Habe nun Aufgabe 1 wie folgt
> gelöst:
>
> [mm]y_h=C_1*e^{4*x}+C_2[/mm]
> [mm]y_p=x*(-0,25*x^2-0,1875*x+1,156)[/mm]
> Allg. Lösung:
> [mm]y=C_1*e^{4*x}+C_2-0,25*x^3-0,1875*x^2+1,156*x)[/mm]
>
> Ist das jetzt korrekt?
Annähernd, aber wieso schreibst du keine Brüche und rundest den letzten Bruch unnötigerweise?
[mm] $a=-\frac{1}{4}, b=-\frac{3}{16}, c=\frac{37}{32}$
[/mm]
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hallo,
danke. Mir gefallen Brüche nicht aber sollte mich wohl daran gewöhnen.
Was bedeutet "Annähernd"? Bezog sich das nur auf die Brüche?
Hätte noch zwei Aufgaben:
Die erste hatte ich schon im ersten Post:
[mm] y''-y=x^2-x
[/mm]
[mm] y_h=C_1*e^x+C_2*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p=-x^2-x
[/mm]
Allg. Lösung: [mm] y=C_1*e^x+C_2*e^{-x}-x^2-x
[/mm]
Dafür gabs Daumen runter - aber warum?
Dann hätte ich noch:
[mm] y'-4*y=e^x
[/mm]
[mm] y_h=e^{4*x}*C
[/mm]
[mm] y_p=C*e^x
[/mm]
Allg. Lösung: [mm] y=C*(e^{4*x}+e^x)
[/mm]
Danke schonmal.
Gruß
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Hallo nochmal,
aus Zeitmangel nur kurz:
> Hallo,
>
> danke. Mir gefallen Brüche nicht aber sollte mich wohl
> daran gewöhnen.
Unbedingt!
> Was bedeutet "Annähernd"? Bezog sich das nur auf die
> Brüche?
Ja, auf die schreckliche Rundung am Ende 
>
> Hätte noch zwei Aufgaben:
>
> Die erste hatte ich schon im ersten Post:
> [mm]y''-y=x^2-x[/mm]
> [mm]y_h=C_1*e^x+C_2*e^{-x}[/mm]
> [mm]y_p=-x^2-x[/mm]
> Allg. Lösung: [mm]y=C_1*e^x+C_2*e^{-x}-x^2-x[/mm]
>
> Dafür gabs Daumen runter - aber warum?
Weil ich nicht erkannt habe, dass das eine neue Aufgabe ist und dachte, das sei der Ansatz für die partikuläre Lösung und am Ende die Lösungsgesamtheit ...
>
> Dann hätte ich noch:
> [mm]y'-4*y=e^x[/mm]
> [mm]y_h=e^{4*x}*C[/mm]
> [mm]y_p=C*e^x[/mm]
> Allg. Lösung: [mm]y=C*(e^{4*x}+e^x)[/mm]
Muss nun weg, schaue später aber nochmal rein, wahrscheinlich ist die Frage bis dahin eh längst beantwortet
Bis dann
schachuzipus
>
> Danke schonmal.
>
> Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> danke. Mir gefallen Brüche nicht aber sollte mich wohl
> daran gewöhnen.
Dezimalzahlen sind auch Brüche! nur eben 1/1000 oder hnlich und oft einfach falsch, weil nur Näherungen!
> Was bedeutet "Annähernd"? Bezog sich das nur auf die
> Brüche?
ja
> Hätte noch zwei Aufgaben:
>
> Die erste hatte ich schon im ersten Post:
> [mm]y''-y=x^2-x[/mm]
> [mm]y_h=C_1*e^x+C_2*e^{-x}[/mm]
> [mm]y_p=-x^2-x[/mm]
> Allg. Lösung: [mm]y=C_1*e^x+C_2*e^{-x}-x^2-x[/mm]
>
> Dafür gabs Daumen runter - aber warum?
[mm] y_p [/mm] ist falsch, setz es ein, dann merkst du es selbst.
> Dann hätte ich noch:
> [mm]y'-4*y=e^x[/mm]
> [mm]y_h=e^{4*x}*C[/mm]
> [mm]y_p=C*e^x[/mm]
> Allg. Lösung: [mm]y=C*(e^{4*x}+e^x)[/mm]
auch hier falsch. das C für [mm] y_p [/mm] musst du durch einsetzen ausrechnen. es in das C1 für die homogene lösg einzusetzen ist falsch.
Du solltest immer am Ende deine lösungen in die Dgl einsetzen, wenig Arbeit, spart viel Ärger .
Gruss leduart
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So, auf ein neues. Hier mein erneuter Lösungsversuch:
1. DGL: [mm] y''-y=x^2-x
[/mm]
[mm] y_h=C_1*e^x+C_2*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p=-x^2-x-2
[/mm]
Allg. Lösung: [mm] y=C_1*e^x+C_2*e^{-x}-x^2-x-2
[/mm]
2. DGL: [mm] y'-4*y=e^x
[/mm]
[mm] y_h=e^{4*x}*C
[/mm]
[mm] y_p=e^x
[/mm]
Allg. Lösung: [mm] y=e^{4*x}*C+e^x
[/mm]
Wäre super, wenn das kurz jemand kontrollieren könnte. Danke schonmal.
Gruß
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Danke. Die erste Aufgabe habe ich jetzt wohl korrekt gelöst (Probe gemacht):
Allg. Lösung: [mm] y=C_1*e^x+C_2*e^{-x}-x^2+x-2
[/mm]
Bei der zweiten Aufgabe komme ich jedoch nicht weiter.
Das C habe ich bestimmt als 3x+K
Dennoch komme ich nicht auf [mm] e^x
[/mm]
Kann mir bitte jemand einen Tip geben, was ich falsch mache bzw. was das richtige C ist?
Wäre wirklich super. Danke schonmal.
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Hallo jimmytimmy,
> Danke. Die erste Aufgabe habe ich jetzt wohl korrekt
> gelöst (Probe gemacht):
>
> Allg. Lösung: [mm]y=C_1*e^x+C_2*e^{-x}-x^2+x-2[/mm]
>
> Bei der zweiten Aufgabe komme ich jedoch nicht weiter.
>
> Das C habe ich bestimmt als 3x+K
>
> Dennoch komme ich nicht auf [mm]e^x[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand einen Tip geben, was ich falsch mache
> bzw. was das richtige C ist?
Um das feststellen zu können, poste doch
die Rechenschritte, wie Du auf dieses C kommst.
>
> Wäre wirklich super. Danke schonmal.
Gruss
MathePower
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Hier mein Lösungsweg:
[mm] y_h=e^{4x}*C_x
[/mm]
[mm] (y_h)'=4*e^{4x}*C_x+e^{4x}*(C_x)'
[/mm]
Einsetzen:
[mm] 4*e^{4x}*C_x+e^{4x}*(C_x)'-4*e^{4x}*C_x=e^x
[/mm]
[mm] e^{4x}*(C_x)'=e^x
[/mm]
[mm] (C_x)'=e^x/e^{4x}
[/mm]
[mm] \integral{(C_x)'}=\integral{1/e^(3x)}
[/mm]
[mm] C_x=3x+K
[/mm]
Irgendwo mache ich wohl einen Fehler...
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Hallo nochmal,
> Hier mein Lösungsweg:
>
> [mm]y_h=e^{4x}*C_x[/mm]
> [mm](y_h)'=4*e^{4x}*C_x+e^{4x}*(C_x)'[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]4*e^{4x}*C_x+e^{4x}*(C_x)'-4*e^{4x}*C_x=e^x[/mm]
>
> [mm]e^{4x}*(C_x)'=e^x[/mm]
>
> [mm](C_x)'=e^x/e^{4x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also [mm] $c'(x)=e^{-3x}$
[/mm]
Damit [mm] $c(x)=\int{e^{-3x} \ dx}=-\frac{1}{3}e^{-3x}$
[/mm]
Falls das nicht direkt klar ist, substituiere $u:=-3x$
Damit also [mm] $y_p(x)=c(x)\cdot{}e^{4x}=-\frac{1}{3}e^{-3x}\cdot{}e^{4x}=-\frac{1}{3}e^x$
[/mm]
Damit [mm] $y=y_h+y_p=\ldots$
[/mm]
Mache am Ende die Probe, ob's passt!
>
> [mm]\integral{(C_x)'}=\integral{1/e^(3x)}[/mm]
>
> [mm]C_x=3x+K[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
>
>
>
> Irgendwo mache ich wohl einen Fehler...
Gruß
schachuzipus
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oh, ok. Danke.
Hätte aber noch eine Frage dazu.
[mm] \integral{1/e^(3x)} [/mm] habe ich als ln aufgefasst weil der ja Abgeleitet 1/x ist und hierbei das e^(3x) = x
Somit dachte ich, dass [mm] \integral{1/e^(3x)}=ln(e^{3x})
[/mm]
e und ln heben sich auf, so dass nur noch 3x übrig bleibt.
Warum funktioniert das hier nicht? Wenn ich das weiß, hätte ich es denke ich komplett verstanden und könnte das Thema DGL abhaken.
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Hallo nochmal,
> oh, ok. Danke.
>
> Hätte aber noch eine Frage dazu.
>
> [mm]\integral{1/e^(3x)}[/mm] habe ich als ln aufgefasst weil der ja
> Abgeleitet 1/x ist und hierbei das e^(3x) = x
> Somit dachte ich, dass [mm]\integral{1/e^(3x)}=ln(e^{3x})[/mm]
> e und ln heben sich auf, so dass nur noch 3x übrig
> bleibt.
Verstehe ich deinen Gedankengang richtig:
[mm] $\int{\frac{1}{\red{x}} \dx}=\ln(\red{x})$
[/mm]
Also auch [mm] $\int{\frac{1}{\red{e^{3x}}} \ dx}=\ln\left(\red{e^{3x}}\right)=3x$ [/mm] ??
Das kann nicht klappen, du hast doch mit [mm] $e^{3x}$ [/mm] eine verkettet Funktion im Nenner des Integranden.
Wenn du deine Stammfunktion wieder ableitest, muss ja der Integrand wieder herauskommen.
Im ersten Fall: [mm] $\left[\ln(x)\right]'=\frac{1}{x}$ [/mm] passt.
Im zweiten: [mm] $[3x]'=3\neq\frac{1}{e^{3x}}$ [/mm] passt nicht.
Mit deiner Idee wäre ja auch [mm] $\int{\frac{1}{x^2} \ dx}=\ln(x^2)=2\ln(x)$
[/mm]
Wieder abgeleitet ergibt das [mm] $\frac{2}{x}$ [/mm] und das ist offenbar [mm] $\neq\frac{1}{x^2}$
[/mm]
Das ist also Murks.
Also das klappt nur für [mm] $\int{\frac{1}{x} \ dx}$ [/mm] bzw. für lineare Terme im Nenner: [mm] $\int{\frac{1}{x\pm a} \dx}=\ln(x\pm [/mm] a)$ mit [mm] $a\in\IR$ [/mm] ...
> Warum funktioniert das hier nicht? Wenn ich das weiß,
> hätte ich es denke ich komplett verstanden und könnte das
> Thema DGL abhaken.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Do 08.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
super, vielen Dank für die gute Erklärung. Jetzt hab ich's geschnallt ;)
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Hierzu noch eine (hoffentlich allerletzte) Frage:
Warum muss hier keine Integrationskonstante K oder C angenommen werden?
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Hallo nochmal,
> Hierzu noch eine (hoffentlich allerletzte) Frage:
>
> Warum muss hier keine Integrationskonstante K oder C
> angenommen werden?
Guter Punkt. Das habe ich aus Faulheit nicht gemacht
Streng genommen, nimmst du natürlch eine Integrationskonstante $K$
Also [mm] $c(x)=-\frac{1}{3}e^x+K$
[/mm]
Damit kannst du aber $C$ und $K$ zusammenfassen:
[mm] $y_h=Ce^{4x}$
[/mm]
[mm] $y_p=c(x)e^{4x}=-\frac{1}{3}e^x+Ke^{4x}$
[/mm]
Damit [mm] $y=y_h+y_p=Ce^{4x}-\frac{1}{3}e^x+Ke^{4x}=(C+K)e^{4x}-\frac{1}{3}e^x$
[/mm]
Das löst die Dgl auch, mache die Probe ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Do 08.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
Ok, super. Vielen Dank. Jetzt hab ich glaube ich alles verstanden.
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