DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] y''-2y+4=x*e^x [/mm] mit y(1)=2 und y'(1)=1 |
Ich probiere schon seit Tagen die DGL zu lösen und bekomme es einfach nicht hin.
Ich habe zuerst die homogene DGL y''-2y=0 gelöst:
--> [mm] \lambda=\pm\wurzel{2}
[/mm]
--> [mm] y=c_1*e^{\wurzel{2}x}+c_2*e^{-\wurzel{2}x}
[/mm]
Dann komme ich nicht so richtig weiter. Ich weiß jetzt nicht, ob ich eine Variation der Konstanten machen muss oder die Anfangswerte einsetzten soll. Also in y(x) und in y'(x)..
Über einen Tipp wär ich sehr dankbar.
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Abend,
> [mm]y''-2y+4=x*e^x[/mm] mit y(1)=2 und y'(1)=1
> Ich probiere schon seit Tagen die DGL zu lösen und
> bekomme es einfach nicht hin.
DGL's können richtig böse sein. Ich kenne das.
>
> Ich habe zuerst die homogene DGL y''-2y=0 gelöst:
Sehr schön :)
>
>
> --> [mm]\lambda=\pm\wurzel{2}[/mm]
>
> --> [mm]y=c_1*e^{\wurzel{2}x}+c_2*e^{-\wurzel{2}x}[/mm]
>
> Dann komme ich nicht so richtig weiter. Ich weiß jetzt
> nicht, ob ich eine Variation der Konstanten machen muss
> oder die Anfangswerte einsetzten soll. Also in y(x) und in
> y'(x)..
Wenn du die allgemeine Lösung der homogenen Lsg herausgefunden hast, dann kannst du in der Tat entweder die Variation der Konstanten anwenden, oder du versuchst über einen geschickten Ansatz eine Lösung zu erhalten.
Leite also deine Lösung ab und betrachte die Konstanten als variabel. Denke dabei also auch an die Produktregel.
Die Anfangswerte würde ich immer zuletzt einarbeiten.
Ich zumindest erarbeite mir immer zuerst die allgemeine Lösung und setze dann die Anfangswerte ein.
Du hast ja die halbe Miete schon!
>
> Über einen Tipp wär ich sehr dankbar.
>
> Max
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viel Erfolg.
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ok schon mal vielen dank.
Ich habe jetzt die homogene DGL 2 mal abgeleitet:
y'(x) [mm] =e^{\wurzel{2}*x}*[\wurzel{2}*c_1(x)+c_1'(x)]+e^{-\wurzel{2}*x}*[c_2'(x)-\wurzel{2}*c_2(x)]
[/mm]
y''(x) [mm] =e^{\wurzel{2}*x}*[c_1''(x)+2*\wurzel{2}*c_1'(x)+2*c_1(x)]+e^{-\wurzel{2}*x}*[c_2''(x)-2*\wurzel{2}*c_2'(x)+2*c_2(x)]
[/mm]
Nach einsetzt in die Original DGL erhalte ich nach dem kürzen:
[mm] e^{\wurzel{2}*x}*[c_1''(x)+2*\wurzel{2}*c_1'(x)]+e^{-\wurzel{2}*x}*[c_2''(x)-2*\wurzel{2}*c_2'(x)]+4=x*e^{x}
[/mm]
Aber jetzt weiß ich leider nicht weiter.
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Morgen,
Jetzt hast du ein DGL-System erschaffen, was du lösen kannst. Allerdings sieht man schon, dass es ziemlich kompliziert aussieht.
Ich habe oben schon geschrieben, dass gewisse Ansätze sehr hilfreich sein können.
Bei dieser Form der Störfunktion sollte meines Wissens der Ansatz [mm] y(x)=(ax^2+bx)*e^x [/mm] hilfreich sein.
Damit sollte man auch zum Ziel kommen. Ich bin mir jetzt über den Ansatz aber nicht 100%ig sicher. - Also mit Vorsicht betrachten. Es gibt aber Tabellen, wo man da nachschlagen kann.
Ich glaube also mit den Ansatz kommst du sehr schnell ans Ziel, da du nur die Koeffizienten bestimmen musst.
P.S.: Dass du die (korrekten) Ableitungen gebildet und niedergeschrieben hast ist wirklich sehr löblich. Anerkennnung meinerseits.
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Ich steh grad echt auf dem Schlauch. Was soll ich denn mit dem Ansatz genau machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich steh grad echt auf dem Schlauch. Was soll ich denn mit
> dem Ansatz genau machen?
Gehe mit
$ [mm] y(x)=(ax^2+bx)\cdot{}e^x [/mm] $
in die Dgl. ein und bestimme a und b.
FRED
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Also:
> [mm]y(x)=(ax^2+bx)\cdot{}e^x[/mm]
in die Original DGL einsetzen, einmal als y(x) und einmal als Y''(x)?
Aber dann habe ich doch eine Gleichung mit 2 Unbekannten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 18.07.2012 | | Autor: | teo |
> Also:
>
> > [mm]y(x)=(ax^2+bx)\cdot{}e^x[/mm]
>
>
> in die Original DGL einsetzen, einmal als y(x) und einmal
> als Y''(x)?
> Aber dann habe ich doch eine Gleichung mit 2 Unbekannten?
Ja aber du kannst ja Koeffizientenvergleich machen!
Hast du die DGl richtig abgeschrieben? Steht da echt 4 hinten. Weil ich brings wegen der 4 auch net hin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Mi 18.07.2012 | | Autor: | MaxiBeaver |
Ja die DGL ist so richtig:
Koeffizientenvergleich hab ich noch nie gemacht. Dann guck ich mir das mal an.
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Hallo,
Also folgendes:
Man wähle [mm] y(x)=(ax^2+bx+c)e^x [/mm] als Ansatzfunktion.
[mm] y(x)=(ax^2+bx+c)e^x
[/mm]
[mm] y'(x)=(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x
[/mm]
[mm] y''(x)=2ae^x+2(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x
[/mm]
Einsetzen in die DGL
[mm] 2ae^x+2(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x-2*(ax^2+bx+c)e^x=xe^x-4
[/mm]
Dies vereinfacht sich zu:
[mm] (-ax^2+2ax-bx+2a+2b-c)e^x=xe^x-4
[/mm]
Nun betrachten wir nur die Koeffizienten:
Beim Koeffizientenvergleich vergleicht man die Koeff. von der linken mit der rechten Seite, jeweils der Potenzen:
Also ausführlich steht ja die folgende Gleichung da:
[mm] (-ax^2+2ax-bx+2a+2b-c)e^x=(0*x^2+1*x+0*x^0)e^x-4
[/mm]
Wir vergleichen:
[mm] x^0: [/mm] 2a+2b-c=0
[mm] x^1: [/mm] 2a-b=1
[mm] x^2: [/mm] -a=0
Man erkennt dann leicht: a=0. Also ist b=-1, und damit ist c=-2
Also zusammenfassend haben wir eine Lösung: [mm] (-x-2)e^x
[/mm]
ABER: Es ist sicherlich aufgefallen, dass ich die -4 noch unbeachtet gelassen habe. Aber es ist offensichtlich was man dagegen macht: Man addiert einfach eine 2, denn beim differenzieren fliegt die dann sowieso weg. Und durch die Multiplikation mit -2 hebt sich das Ding perfekt auf. (Man kann auch das mit dem Ansatz herausbekommen, indem man einfach die Konstante d noch nach dem obigen Term hinzufügt.
Also haben wir als spezielle Lösung:
[mm] y(x)=(-x-2)e^x+2
[/mm]
EDIT: Nun hat man also die Lösung:
[mm] y(x)=c_1e^{\sqrt{2}x}+c_2e^{-\sqrt{2}x}+(-x-2)e^x+2
[/mm]
Nun musst du noch die Anfangswerte einarbeiten.
Wenn du das gemacht hast, dann hast du das AWP gelöst.
Danach musst du dich nur noch über das Ergebnis freuen. Vorallem, weil du schon so lange daran grgübelt hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mi 18.07.2012 | | Autor: | MaxiBeaver |
Super. Vielen Dank. Ist ja ne simple Sache mit dem Koeffizientenvergleich. Aber wie immer, wenn man weiß wie es geht ist sind die Aufgaben easy. :)
Du und alle anderen haden mir echt riesig geholfen. Danke
Gruß
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Also ich habe jetzt mal diesen Weg übernommen und die AW in:
[mm] y(x)=c_1e^{\sqrt{2}x}+c_2e^{-\sqrt{2}x}+(-x-2)e^x+2 [/mm]
und
[mm] y'(x)=-e^x+(-x-2)e^x+2+\wurzel{2}*c_1*e^{\sqrt{2}x}-\wurzel{2}*c_2*e^{-\sqrt{2}x}
[/mm]
eingesetzt.
dabei bin ich auf folgende Konstaten gekommen:
[mm] c_1=\bruch{3e-c_2*e^{-\wurzel{2}}}{e^{\wurzel{2}}}
[/mm]
und [mm] c_2=\bruch{1+\wurzel{2}*c_1*e^{\wurzel{2}}-4e}{\wurzel{2}*e^{-\wurzel{2}}}
[/mm]
Anschließend habe ich [mm] c_1 [/mm] in [mm] c_2 [/mm] eingesetzt und folgendes [mm] c_2 [/mm] raus:
[mm] c_2=\bruch{1+3*e^{\wurzel{2}}-4e}{2*\wurzel{2}*e^{-\wurzel{2}}} \approx [/mm] 2,41
Ich glaub aber nicht, dass das richtig ist..
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Hallo MaxiBeaver,
> Also ich habe jetzt mal diesen Weg übernommen und die AW
> in:
>
> [mm]y(x)=c_1e^{\sqrt{2}x}+c_2e^{-\sqrt{2}x}+(-x-2)e^x+2[/mm]
>
> und
>
> [mm]y'(x)=-e^x+(-x-2)e^x+2+\wurzel{2}*c_1*e^{\sqrt{2}x}-\wurzel{2}*c_2*e^{-\sqrt{2}x}[/mm]
>
> eingesetzt.
>
> dabei bin ich auf folgende Konstaten gekommen:
>
> [mm]c_1=\bruch{3e-c_2*e^{-\wurzel{2}}}{e^{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> und
> [mm]c_2=\bruch{1+\wurzel{2}*c_1*e^{\wurzel{2}}-4e}{\wurzel{2}*e^{-\wurzel{2}}}[/mm]
>
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]c_2=\bruch{\blue{-1}+\wurzel{2}*c_1*e^{\wurzel{2}}-4e}{\wurzel{2}*e^{-\wurzel{2}}}[/mm]
> Anschließend habe ich [mm]c_1[/mm] in [mm]c_2[/mm] eingesetzt und folgendes
> [mm]c_2[/mm] raus:
>
> [mm]c_2=\bruch{1+3*e^{\wurzel{2}}-4e}{2*\wurzel{2}*e^{-\wurzel{2}}} \approx[/mm]
> 2,41
>
> Ich glaub aber nicht, dass das richtig ist..
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
[mm] http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html
[/mm]
FRED
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Der Vollständigkeithalber möchte ich hier noch einmal auf die Variation der Konstanten zu sprechen kommen. - Heute früh war die Zeit doch recht knapp.
Der Ansatz ist natürlich nicht schlecht. Aber man trifft bestimmte Vereinfachungen (die mit einem DGL-System zu erklären sind).
man geht folgendermaßen vor:
Ich wähle, weil es einfacher zu schreiben ist, [mm] c_1(x)=a(x) [/mm] und [mm] c_2(x)=b(x), [/mm] Die Argumente lasse ich immer weg.
Damit haben wir [mm] y(x)=ae^{\sqrt{2}x}+be^{-\sqrt{2}x}
[/mm]
[mm] y'(x)=a'e^{\sqrt{2}x}+b'e^{-\sqrt{2}x}+a\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x}-b\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x}
[/mm]
Man setzt [mm] a'e^{\sqrt{2}x}+b'e^{-\sqrt{2}x}=0
[/mm]
Damit ist [mm] y'(x)=a\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x}-b\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x}
[/mm]
[mm] y''(x)=a'\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x}-b'\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x}+2ae^{\sqrt{2}x}+2be^{-\sqrt{2}x}
[/mm]
Es gilt aber auch: [mm] y''(x)=+2y(x)+xe^x-4
[/mm]
Also:
[mm] a'\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x}-b'\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x}+\underbrace{2ae^{\sqrt{2}x}+2be^{-\sqrt{2}x}}_{=2y(x)}=+2y(x)+xe^x-4
[/mm]
Und uns bleibt erhalten: [mm] a'\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x}-b'\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x}=xe^x-4
[/mm]
Nun haben wir ein Gleichungssystem:
[mm] a'e^{\sqrt{2}x}+b'e^{-\sqrt{2}x}=0
[/mm]
[mm] a'\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x}-b'\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}x}=xe^x-4
[/mm]
Oder anders geschrieben
[mm] \pmat{ e^{\sqrt{2}x} & e^{-\sqrt{2}x} \\ \sqrt{2}e^{\sqrt{2}x} & -\sqrt{2}e^{\sqrt{2}x} }*\vektor{a'\\b'}=\vektor{0\\xe^x-4}
[/mm]
Das kann man über die Cramersche Regel schnell lösen.
a' und b' sind dann nur noch zu integrieren. Natürlich nach x.
Man muss dann a und b noch in die homogene Lösung einsetzen und erhält dann eine spezielle.
Nun sei es an dir herauszufinden und zu vermuten, was in der Tat die einfachere Lösungsmethode ist: Variation der Konstanten oder Ansatzmethode?
Ich denke, die Entscheidung fällt leicht...
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 18.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y''-2y+4=x*e^x[/mm] mit y(1)=2 und y'(1)=1
> Ich probiere schon seit Tagen die DGL zu lösen und
> bekomme es einfach nicht hin.
>
> Ich habe zuerst die homogene DGL y''-2y=0 gelöst:
>
>
> --> [mm]\lambda=\pm\wurzel{2}[/mm]
>
> --> [mm]y=c_1*e^{\wurzel{2}x}+c_2*e^{-\wurzel{2}x}[/mm]
>
> Dann komme ich nicht so richtig weiter. Ich weiß jetzt
> nicht, ob ich eine Variation der Konstanten machen muss
> oder die Anfangswerte einsetzten soll.
Wenn Du jetzt schon die Anfangswerte einsetzen würdest, würdest Du das Anfangswertproblem
[mm]y''-2y+4=0[/mm] , y(1)=2 und y'(1)=1
lösen ! Sollst Du das ? Eben !
FRED
> Also in y(x) und in
> y'(x)..
>
> Über einen Tipp wär ich sehr dankbar.
>
> Max
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Das habe ich jetzt auch schon zum 2. oder 3. mal versucht.
Da bekomme ich ein [mm] c_{2}:
[/mm]
[mm] c_2= \bruch{2*e^{-\wurzel{2}}}{1-e^{-2\wurzel{2}}}+\bruch{e^{-\wurzel{2}}}{\wurzel{2}*(1-e^{-2\wurzel{2}})} \approx [/mm] 0,7
Lauf Wolfram Alpha soll aber das raus kommen:
[mm] c_2= \bruch{1}{4}*e^{-\wurzel{2}}*(\wurzel{2}+6e+4*\wurzel{2}e) \approx [/mm] 2,01
Aber vielleicht verrechne ich mich ja immer.
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Was Fred damit sagen will: Wenn du jetzt [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] bestimmen würdest, dann berechnest du das AWP von der homogenen DGL. Aber du willst ja die inhomogene DGL als AWP betrachten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Mi 18.07.2012 | | Autor: | MaxiBeaver |
Ja ok, das ist natürlich nicht der Sinn. Hätte ich mal richtig lesen sollen. Dann hätte ich mir einiges an Arbeit gespart.
Aber Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Arbeit vielleicht ja. Aber Übung macht den Meister. Ich habe schon so unzählig oft Zeugs abgeleitet, was ich gar nicht gebraucht hätte. Aber es schadet nie..
(p.s. Es ist günstig soetwas nicht als Frage zu posten, sondern als Mitteilung. - Denn eine Frage war das ja nicht ;) )
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