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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2. Ordnung, homogen
DGL 2. Ordnung, homogen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 2. Ordnung, homogen: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:38 Fr 19.08.2005
Autor: erazor

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo.
Kann mir jemand sagen ob die Lösung folgender DGL 2. Ordnung richtig ist ?

t'' - 4t' + 4t = 0  

Die Anfangsbedingungen lauten t(0) = 1  und t'(0) = 2
Ich ersetze t'' und t' durch  [mm] \lambda [/mm] 1  und [mm] \lambda [/mm] 2 und erhalte als Lösung der quadratischen Gleichung: [mm] \lambda [/mm] 1 = 2 und [mm] \lambda [/mm] 2 = 0.

Daraus folgere ich die allgemeine Lösung mit

t(x) = C1 * [mm] e^{4x} [/mm] + C2

Jetzt mache ich mich an die Anfangsbedingungen:

t'(0) = C1 * [mm] 4e^{4x} [/mm]
2 =  C1 * [mm] 4e^{4x} [/mm]
C1 = 2/4 = 1/2

t(0) = 1/2 * [mm] e^{4*0} [/mm] + C2
1 = 1/2 * [mm] e^{4*0} [/mm] + C2
1 = 1/2  + C2
C2 = 1/2

Meine spezielle Lösung lautet daher :

t(x) = 1/2 [mm] e^{4x} [/mm] + 1/2

Kann mir jemand dieses Ergebnis bestätigen ?
Wenn nicht wäre es sehr hilfreich wenn mir jemand meinen Fehler nennen könnte.

Vielen Dank schonmal.

mfg

erazor

        
Bezug
DGL 2. Ordnung, homogen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Fr 19.08.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Hier stimmt so einiges nicht...

>  Kann mir jemand sagen ob die Lösung folgender DGL 2.
> Ordnung richtig ist ?
>  
> t'' - 4t' + 4t = 0  
>
> Die Anfangsbedingungen lauten t(0) = 1  und t'(0) = 2
>  Ich ersetze t'' und t' durch  [mm]\lambda[/mm] 1  und [mm]\lambda[/mm] 2 und
> erhalte als Lösung der quadratischen Gleichung: [mm]\lambda[/mm] 1 =
> 2 und [mm]\lambda[/mm] 2 = 0.

Nein. Das charakteristische Polynom lautet:

[mm] $p(x)=x^2-4x+4 [/mm] = [mm] (x-2)^2$, [/mm]

und wir haben $x=2$ als zweifache Nullstelle.

Daher lautet die allgemeine Lösung::

$t(x) = [mm] C_1e^{2x} [/mm] + [mm] C_2xe^{2x}$. [/mm]

Versuche es ab da bitte noch einmal. :-)

Viele Grüße
Stefan
  

Bezug
        
Bezug
DGL 2. Ordnung, homogen: Probe machen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Fr 19.08.2005
Autor: Loddar

Hallo erazor,

[willkommenmr] !!!


Einen Deiner Fehler bei der Lösung des charakteristischen Polynoms hat Dir ja Stefan bereits aufgezeigt ...


> Meine spezielle Lösung lautet daher :  [mm]t(x) = \bruch{1}{2}e^{4x}+\bruch{1}{2}[/mm]
> Kann mir jemand dieses Ergebnis bestätigen ?

Das könntest Du ja auch selber ganz schnell überprüfen, indem Du von dieser Funktion $t(x)_$ die beiden Ableitungen $t'(x)_$ und $t''(x)_$ bildest und einfach mal in die Ausgangs-DGL einsetzt.

Dann sollte mit etwas Zusammenfassen auch am Ende eine wahre Ausssage (hier: "= 0") herauskommen.

Und daran sieht man auch , dass Deine Funktion mit einem Absolutglied $+ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] gar nicht stimmen kann, da dieser Term beim Ableiten verschwindet und dann in der DGL nicht mehr eliminiert werden kann.


Gruß
Loddar


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