DGL 2ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 09.09.2007 | | Autor: | Zuzy |
| Aufgabe | Bestimme Sie alle Lösungen der DGLs
a) y`` - 2y` + 5y = -10
b) y`` - 2y` + y = x + 1 |
Hallo liebe Forumsmitglieder,
wir brüten gerade zu zweit über DGLs jeglicher Varianten.
Lösungen für 1. Ordnungen sind uns soweit klar.
Für n-te Ordnung ist uns der Ansatz y=yS + yH klar sowie die Bestimmung der homogenen Gleichung.
Unser Problem ist der Ansatz für die inhomogene Gleichung da diese DGL ja nicht = 0 ist. Haben einiges zu Störfunktionen und Variation der Konstanten gelesen aber nicht ganz verstanden.
Frage: Welche Ansätze zur Bestimmung der inhomogenen Gleichung sind für a) bzw. b) möglich? Ist a) ein einfacherer Fall von b)?
Sind für jede Hilfe bis Montagabend (Dienstag ist Examensprüfung) dankbar!
Grüße
Maria & Marina (nein das ist kein Witz und kein Schreibfehler *g*)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimme Sie alle Lösungen der DGLs
> a) y'' - 2y' + 5y = -10
> b) y'' - 2y' + y = x + 1
Wenn die Lösungen der homogenen DGL klar sind, dann setzt ihr als partikuläre Lösung an:
a) [mm] y_{p} [/mm] = c also eine konstante Funktion,
b) [mm]y_{p} = a*x + b[/mm] also eine lineare Funktion
Jetzt noch zweimal ableiten, einsetzen in die DGL und die Koeffizienten bestimmen.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 09.09.2007 | | Autor: | Zuzy |
ok das sieht nicht so kompliziert aus aber uns fehlt trotzdem der Zugang dazu *grübel*
also unsere Lösungen der homogenen DGL sind
a) [mm] y_{H}=c_{1}e^{x}cos2x [/mm] + [mm] c_{2}e^{x}sin2x
[/mm]
b) [mm] y_{H}=c_{1}e^{x}+c_{1}2e^{x}
[/mm]
nun schreibst du
> setzt ihr als partikuläre Lösung an:
> a) [mm]y_{p}[/mm] = c also eine konstante Funktion,
> b) [mm]y_{p} = a*x + b[/mm] also eine lineare Funktion
> Jetzt noch zweimal ableiten, einsetzen in die DGL und die
> Koeffizienten bestimmen.
uns ist unklar, was mit [mm] y_{p} [/mm] gemeint ist und auf welches c es sich bezieht (auf -10?)
bzw.
ist a*x+b im zweiten Fall dann 0*x+1?
und was bringen uns dann die homogenen Lösungen bzw. wo müssen die eingesetzt werden?
ich glaub es ist deutlich, dass uns für den inhomogenen Ansatz das komplette Verständis fehlt ... sorry ... wären für eine detailierte Lösung und Erklärung dankbar
Grüße
M & M
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Hallo,
> also unsere Lösungen der homogenen DGL sind
> a) [mm]y_{H}=c_{1}e^{x}cos2x[/mm] + [mm]c_{2}e^{x}sin2x[/mm]
> b) [mm]y_{H}=c_{1}e^{x}+c_{1}2e^{x}[/mm]
Hab' ich jetzt nicht nachgerechnet; nehme an, dass sie stimmen.
> nun schreibst du
> > setzt ihr als partikuläre Lösung an:
> > a) [mm]y_{p}[/mm] = c also eine konstante Funktion,
> > b) [mm]y_{p} = a*x + b[/mm] also eine lineare Funktion
> > Jetzt noch zweimal ableiten, einsetzen in die DGL und
> die
> > Koeffizienten bestimmen.
>
> uns ist unklar, was mit [mm]y_{p}[/mm] gemeint ist und auf welches c
> es sich bezieht (auf -10?)
c ist einfach eine beliebige Konstante, die es noch zu bestimmen gilt; sie hat nichts mit den KOnstanten aus der homogenen Lösung zu tun. Um Verwirrung zu vermeiden, nenne ich sie mal z.
[mm]y''-2*y'+5*y=-10[/mm]
[mm] y_{p} [/mm] ist die partikuläre Lösung, für die angesetzt wird:
[mm] y_{p} [/mm] = z [mm] y_{p}'' [/mm] = [mm] y_{p}' [/mm] = 0
Jetzt in die DGL einsetzen.
[mm]0 - 2*0 +5*z = -10[/mm]
z = -2 = [mm] y_{p} [/mm]
Die allgemeine Lösung ist dann
y = [mm] y_{h} [/mm] + [mm] y_{p} [/mm]
Schafft ihr die 2. Aufgabe alleine? Sonst kann ich sie auch noch vorrechnen.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 09.09.2007 | | Autor: | Zuzy |
Danke erstmal für die Beschreibung. Das hat uns schonmal weiter gebracht.
Nun zur zweiten Variante:
[mm] y_{p}=a*x+b [/mm] => [mm] y_{p}'=a [/mm] und [mm] y_{p}''=0
[/mm]
das eingesetzt in die Gleichung bringt uns:
- 2a + ax + b = x + 1
was machen wir nun damit? wir wollen doch a und b bestimmen oder? nun haben wir aber eine Gleichung mit drei Unbekannten. Setzen wir da jetzt was aus der homogenen ein oder wie gehts weiter?
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Hallo,
siehe meine 3. Antwort.
LG, Martinius
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Hallo,
ich hab eure homogenen Lösungen nochmal nachgerechnet. Die erste ist richtig, die zweite nicht.
a) [mm]y_{h}=e^{x}*(C_{1}*sin(2x) + C_{2}*cos(2x))[/mm]
b) [mm]y_{h}=e^{x}*(C_{1}*x+C_{2})[/mm]
[mm]y'' - 2*y'+y=0[/mm]
[mm]\lambda^{2} - 2*\lambda +1 = 0[/mm]
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{1-1} [/mm] = 1
Wenn beide Lösungen der charakteristischen Gleichung reell und gleich sind, dann hat die allgemeine Lösung der homogenen DGL immer die Form:
[mm]y = e^{\lambda x}*(C_{1}*x+C_{2})[/mm]
Nun zur inhomogenen DGL von b):
[mm]y'' - 2*y' +y = x+1[/mm]
[mm]y_{p} = a*x+b[/mm]
[mm] y_{p}' [/mm] = a [mm] y_{p}'' [/mm] = 0
Jetzt einsetzen in die inhomogene DGL:
[mm]0 - 2*a + a*x+b = x+1[/mm]
Ordnen nach der Größe der Potenzen von x:
[mm]a*x + (b-2*a) = x+1[/mm]
Der KOeffizientenvergleich erbringt
a = 1 b = 3
Also heißt die partikuläre Lösung:
[mm]y_{p} = x+3[/mm]
Die allgemeine Lösung also:
[mm]y = y_{h}+y_{p}=e^{x}*(C_{1}*x+C_{2})+x+3[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 So 09.09.2007 | | Autor: | Zuzy |
super! wir habens verstanden! danke!
(der Fehler in der homogenen Gleichung war übrigens nur nen Schreibfehler ... denk dir die 2 als x und es stimmt mit deiner überein ... auf unserem Papier steht es auch richtig *hüstel*)
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