DGL Existenz und Eindeutigkeit < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:09 So 28.06.2015 | | Autor: | Jellal |
Tag zusammen,
ich sitze vor einer Differentialgleichung und weiß nicht weiter, kann mir wer helfen?
Y''(t) [mm] +w^{2}*y(t)=0 [/mm] , y(0)=1, y'(0)=0, [mm] w\in\IR
[/mm]
Dabei ist y' bzw. y'' die erste bzw. zweite Ableitung von y nach t.
In Aufgabe a) sollen wir eine Lösung angeben.
Das ist y(t)=sin(wt+ [mm] 0,5*\pi)
[/mm]
In Aufgabe b) sollen wir das Problem zu einem äquivalenten DGl-System erster Ordnung transformieren:
Setze [mm] Y=\vektor{a \\ b} [/mm] mit a:=y, b:=y'
Dann ist
[mm] Y'=\vektor{a' \\ b'}=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{b \\ -w^{2}*a}
[/mm]
Ich habe also ein DGL-System erster Ordnung der Form:
Y'=F(Y) (*).
Ich will nun die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zeigen. Die Existenz ist ja mit der Lösungsangabe am Anfang schon belegt. Nun zur Eindeutigkeit:
Wir hatten folgende Kriterien für die Eindeutigkeit zum Problem der Form (*):
1) Definitionsbereich U von F muss offen und zusammenhängend sein
2) [mm] Y_{0}=\vektor{y(t=0) \\ y'(t=0)} \in [/mm] U
3) f ist stetig und erfüllt Lipschitz-Bedingung:
[mm] \exists [/mm] L [mm] \forall [/mm] K [mm] \subseteq [/mm] U kompakt [mm] ||F(y)-F(z)||\le [/mm] L||y-z||
Bei mir ist F: U--> [mm] \IR^{2} [/mm] , [mm] U\subseteq \IR^{2}, [/mm] also ist U sicher offen und zusammenhängend, oder?
Außerdem ist oBdA [mm] Y_{0}\in [/mm] U.
F(Y) ist außerdem stetig.
Nur die Lipschitz-Stetigkeit kann ich nicht zeigen. Habe keine Ahnung, wie ich da ansetzen soll.
Muss man das über die Definition machen, oder gibt es eine einfache Merkregel für so einen Fall?
Viele Grüße
Jellal
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 30.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
