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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL Geschwindig Zeit Gesetz
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DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

Aufgabe
Folgende Aufgabenstellung:

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer beschleunigten Masse unter Berücksichtigung der Reibung.

Die Bewegung einer Masse, die durch einen konstante Kraft beschleunigt wird und einer der Geschwindigkeit v proportionalen Reibungskraft unterliegt, genüge der folgenden Dgl:

10 * [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + v = 40 mit v(0) = 10

Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = v(t) ?

Welche Endgeschwindigkeit [mm] v_{e} [/mm] erreicht die Masse!

Ich weiß auch nicht, bei den Textaufgaben, brennen mir immer die Sicherungen durch! :-(

Wie löse ich die vorgegebene Gleichung richtig auf?

10 * [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + v = 40

Das + v stört mich!?

        
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Do 19.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Folgende Aufgabenstellung:
>
> Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer beschleunigten Masse
> unter Berücksichtigung der Reibung.
>  
> Die Bewegung einer Masse, die durch einen konstante Kraft
> beschleunigt wird und einer der Geschwindigkeit v
> proportionalen Reibungskraft unterliegt, genüge der
> folgenden Dgl:
>  
> 10 * [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] + v = 40 mit v(0) = 10
>  
> Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = v(t) ?
>  
> Welche Endgeschwindigkeit [mm]v_{e}[/mm] erreicht die Masse!
> ....

> Wie löse ich die vorgegebene Gleichung richtig auf?
>  
> 10 * [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] + v = 40
>
> Das + v stört mich!

Naja, das ist der beschleunigten Masse wohl einerlei ...

Man hat hier eben eine typische DGL, in welcher
ausser der Ableitung auch die gesuchte Funktion v(t)
auftreten kann. Wenn es dir besser behagt, kannst
du ja mal nach der Ableitung auflösen, dann sieht
es so aus:

     [mm] $\bruch{dv(t)}{dt}\ [/mm] =\ [mm] 4-\frac{1}{10}\,v(t)$ [/mm]

Ein Tipp wäre, es zuerst einmal mit der homogenen
DGL zu versuchen, also

     $\ 10 [mm] *\bruch{dv}{dt}+ [/mm] v\ =\ 0$

bzw.

     $\ [mm] \bruch{dv(t)}{dt}\ [/mm] =\ [mm] -\frac{1}{10}\,v(t)$ [/mm]


LG    Al-Chw.

    




Bezug
                
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

mmh... stört mich der 40 so auf der rechten seite? Könnte ich nicht 40 / 10 rechnen und dann minus v?

Oder ist das wirklich mein Störglied bzw. warum?

Wenn ich das mit dem homogenen Teil mache dann fange ich ja so an, oder?

1. Schritt: homogene Teil

10 * [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + v = 0

[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] = [mm] -\bruch{v}{10} [/mm]

ln |v| = -10 * t + c

ln |y| = ln [mm] |e^{10 * t}| [/mm] + ln |c|

y = [mm] e^{10*t} [/mm] * c

Ist das ok?

Und wenn ja, wie bitte weiter?

Bezug
                        
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Do 19.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo andi

> mmh... stört mich die 40 so auf der rechten Seite? Könnte
> ich nicht 40 / 10 rechnen und dann minus v?
>  
> Oder ist das wirklich mein Störglied bzw. warum?

Ja, das ist das Störglied, weil es die Homogenität
stört. Eine homogene DGL für v(t) muss stets die
Lösung v(t)=0 (für alle t) haben.

> Wenn ich das mit dem homogenen Teil mache dann fange ich ja
> so an, oder?
>  
> 1. Schritt: homogener Teil
>  
> 10 * [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] + v = 0
>  
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] = [mm]-\bruch{v}{10}[/mm]   [ok]
>  
> ln |v| = -10 * t + c     [notok]
>  
> ln |y| = ln [mm]|e^{10 * t}|[/mm] + ln |c|    [notok]

wieso jetzt y statt v ?
und weshalb die Betragsstriche auf der rechten Seite ?
  

> y = [mm]e^{10*t}[/mm] * c
>  
> Ist das ok?

Wie du siehst, noch nicht.  

> Und wenn ja, wie bitte weiter?

Dann brauchst du eine partikuläre Lösung der
ursprünglichen DGL, um sie zur allgemeinen
Lösung der homogenen DGL zu addieren.

LG

Bezug
                                
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

Ok, danke, dass mit y war ein schreibfehler!

So also nochmals:

[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] = [mm] -\bruch{v}{10} [/mm]

[mm] \integral{\bruch{1}{dv}dv} [/mm] = - [mm] \integral{\bruch{1}{10}dt} [/mm]

ln |v| = ...

wie integriere ich die rechte seite, richtig?

Bezug
                                        
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Do 19.11.2009
Autor: Herby

Hallo Andi,

> Ok, danke, dass mit y war ein schreibfehler!
>  
> So also nochmals:
>  
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] = [mm]-\bruch{v}{10}[/mm]
>  
> [mm]\integral{\bruch{1}{v}dv}[/mm] = - [mm]\integral{\bruch{1}{10}dt}[/mm]
>  
> ln |v| = ...
>  
> wie integriere ich die rechte seite, richtig?

[mm] -\integral{\bruch{1}{10}\ dt}=-\bruch{1}{10}*\integral{\red{1}\ dt} [/mm]


Lg
Herby

Bezug
                                                
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

Stimmt, ich .... !

Ich kann ja das 1/10 rausziehen!

Das heisst dann weiter:

ln|v| = [mm] -\bruch{1}{10} [/mm] t + c

Wie bekomme ich hier die ln weg?

Bezug
                                                        
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Do 19.11.2009
Autor: Herby

Hi,

> Stimmt, ich .... !
>
> Ich kann ja das 1/10 rausziehen!

Du solltest vielleicht mal eine Pause oder was anderes zwischendurch machen :-)

> Das heisst dann weiter:
>  
> ln|v| = [mm]-\bruch{1}{10}[/mm] t + c
>  
> Wie bekomme ich hier die ln weg?

durch die Exponentialfunktion [mm] e^{trallala} [/mm]


Lg
Herby

Bezug
                                                                
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

Kann ich das so machen?

[mm] e^{ln|v|} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{10}*t} [/mm] + [mm] e^{c} [/mm]

v = [mm] e^{-\bruch{1}{10}*t} [/mm] + [mm] e^{c} [/mm]

Ist das so richtig?

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Potenzrechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Do 19.11.2009
Autor: Loddar

Hallo Andi!


> [mm]e^{ln|v|}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{10}*t}[/mm] + [mm]e^{c}[/mm]

[notok] Du musst auf der rechten Seite der gleichung auf die gesamte Seite die e-funktion anwenden und nicht nur summandenweise:
[mm] $$e^{\ln|v|} [/mm] \ = \ [mm] e^{-\bruch{1}{10}*t+c}$$ [/mm]
$$v \ = \ [mm] e^c*e^{-\bruch{1}{10}*t}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Do 19.11.2009
Autor: andi7987

Danke!

Also wend ich die e funktion immer so an?

Oder ist das nur bei Summanden?



Bezug
                                                                                        
Bezug
DGL Geschwindig Zeit Gesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 19.11.2009
Autor: Herby

Hallo,

> Danke!
>  
> Also wend ich die e funktion immer so an?
>  
> Oder ist das nur bei Summanden?

das ist immer so. Wenn a=b+c ist, dann ist:

[mm] e^{a}=e^{b+c}=e^{b}*e^{c} [/mm]


Lg
Herby

Bezug
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