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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 23.01.2006 | | Autor: | maaa3 |
| Aufgabe 1 | Gegeben sei das Anfangswertproblem [mm]y'=y/x^2+x, y(1)=0[/mm].
Erfüllt die rechte Seite eine Lipschitzbedingung bzgl. [mm]y[/mm] auf [mm]E:=\{(x,y)\in \IR^2 | x>0, y\in \IR \}[/mm]? |
| Aufgabe 2 | | Begründen Sie, warum das Anfangswertproblem eine für alle [mm]x>0[/mm] definierte eindeutige Lösung besitzt. |
| Aufgabe 3 | | Ausgehend von der Anfangsnäherung [mm]y_0(x)=0[/mm] berechnen Sie dann die Näherungslösungen [mm]y_1,y_2,y_3[/mm] mit Picarditeration. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich sitze grad über diesem Problem und habe aber noch keine reife Lösung anzubieten, arbeite aber fieberhaft daran und werde sie sofort einstellen.
Bis dahin würde ich mich freuen, wenn sich jemand die Mühe machen würde und mir etwas helfen könnte.
Vielen dank.
Gruß
Maaa
edit:
für die aufgabe drei habe ich jetz einen lösungsvorschlag:
für n=1: [mm]u_1=1/2*x^2-1/2[/mm]
für n=2: [mm]u_2=\bruch{x^3+x^2+1}{2x}-3/2[/mm]
für n=3: [mm]u_3=\bruch
{-1+2x*(3+x^2+x^3)+2x^2*Log[x]}{4x^2}-\bruch{9}{4}[/mm]
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Hallo maaa,
es ist also [mm] $y'(x)=f(x,y):=y/x^2+x, [/mm] y(1)=0$ zu lösen.
erstmal zu aufgabe1:
$f$ ist linear in $y$, hat also insbesondere auch eine beschränkte ableitung nach $y$. (in abhängigkeit von $x$, das stört aber hier nicht!) Solche funktionen sind automatisch lipschitzstetig, wie man leicht mithilfe des hauptsatzes der diff- und integralrechnung zeigt.
aufgabe2:
meinst du nicht zufällig für alle $x>1$? das passt besser zur anfangsbedingung. habt ihr sätze in der vorlesung gehabt, die die existenz einer globalen lösung zeigen, oder auch die fortsetzbarkeit einer lösung? so einen satz bräuchte man hier.
aufgabe3:
ist einfach einsetzen und ausrechnen in die iterationsformel.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Di 24.01.2006 | | Autor: | maaa3 |
hi matthias,
vielen dank für deine hilfe
zu 1.
also reicht es aus als begründung wenn ich hinschreibe
Da die partielle Ableitung der rechten Seite [mm]f_y(x,y)=- \bruch{2y}{x^3}+1[/mm] auf E stetig ist, ist die Lipschitz-Bed. erfüllt.
Oder sollte ich noch eine Art "beweis" anführen (wenn ja, welchen *g*)
zu 2.
ne in der Aufgabenstellung steht [mm]x>0[/mm]
verstehe nicht ganz was du meinst mit fortsetzbar, sorry.
wir hatten die def. der lipschitz-bedingung, den satz zur part. ableitung, den satz von peano und den satz von picard-lindelöf.
zu 3.
ok das hatte ich gemacht, und die oben stehenden Lösungen erhalten. Denke das sollte passen.
herzlichen dank nochmal
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Do 26.01.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo maaa,
nochmal kurz zur aufgabe1:
es ist
[mm] $f_y(x,y)=1/x^2$
[/mm]
diesen term musst du abschätzen, um letztlich auf die lipschitz-stetigkeit von $f$ bezüglich $y$ zu schließen. allerdings ist das doch nicht so leicht wie ich gedacht habe, wenn nur $x>0$ vorausgesetzt ist, ich bin von [mm] $x\ge [/mm] 1$ ausgegangen. Hat man so eine abschätzung, schließt man mit hilfe des hauptsatzes der diff- und int-rechgnung:
[mm] $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=\left| \integral_{y_2}^{y_1}{f_y(x,y) dy}\right|\le |y_1-y_2|\cdot [/mm] C$
wobei $C$ die Schranke fuer die ableitung ist.
VG
Matthias
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:08 Do 26.01.2006 | | Autor: | maaa3 |
hi matthias danke für deine antworet
du hast natürlich recht mit der ableitung... tsts
man kann doch sagen, die rechte seite ist lipschitz-stetig weil die part. ableitung stetig auf E ist oder?
wie beweise ich dann die stetigkeit von [mm]1/x^2[/mm] ?
zu 2. reicht es wenn man sagt, eine funktion die stetig auf E und lipshitz stetig bzgl. y auf E ist, besitzt automatisch genau eine lösung?
gruß
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