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Forum "Differentiation" - DGL, Lösung
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DGL, Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Sa 11.10.2008
Autor: Kreide

Aufgabe
[mm] y'=(x+y)^{2} [/mm]
substituiere u(x)=x+y(x) [mm] \Rightarrow u'=u^{2}+1 [/mm]

also ist u=tan(x+c)

zu beantwortende Frage: Warum sind dies alle Lösungen?

Hallo, ich weiß nicht so recht, wie man diese Frage beantworten soll.

Dies sind doch alle Lösungen, weil man hier das c in Betracht zieht und so eine Menge Lösungen mit einschließt. Wie kann ich beweisen, dass nur der Tangens diese Ableitung besitzt?

Lg
kreide

PS: mir ist klar, das die allgemeine lösung y=tan(x+c)-x ist

        
Bezug
DGL, Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Sa 11.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]y'=(x+y)^{2}[/mm]
>  substituiere u(x)=x+y(x) [mm]\Rightarrow u'=u^{2}+1[/mm]
>  
> also ist u=tan(x+c)
>  
> zu beantwortende Frage: Warum sind dies alle Lösungen?
>  Hallo, ich weiß nicht so recht, wie man diese Frage
> beantworten soll.
>  
> Dies sind doch alle Lösungen, weil man hier das c in
> Betracht zieht und so eine Menge Lösungen mit einschließt.
> Wie kann ich beweisen, dass nur der Tangens diese Ableitung
> besitzt?
>
> Lg
>  kreide
>  
> PS: mir ist klar, das die allgemeine lösung y=tan(x+c)-x
> ist

Hallo Kreide,

die Lösung  "also ist  u=tan(x+c)"  ist doch irgendwie sehr
kurz und steht ohne weitere Begründung da.


Gehen wir von der Gleichung   [mm] u'=u^{2}+1 [/mm]   aus:

       [mm] \bruch{du}{dx}=u^2+1 [/mm]

Man kann sie auch so (separiert) schreiben:

       [mm] \bruch{du}{u^2+1}=dx [/mm]

Beidseitige Integration liefert:

      [m]\ arctan(u)=x+C[/m]

Da drin stecken alle möglichen Lösungen; die einzige
Möglichkeit der Variation liegt in der Wahl der Integra-
tionskonstanten C.

Geht man jetzt zur Gleichung

       [m]\ u\ =\ tan(x+C)[/m]

über, so hat man, weil die Tangensfunktion nicht
injektiv ist, nochmals eine unendliche Vielfalt von
Wahlmöglichkeiten, weil  [mm] tan(x+C)=tan(x+C+z*\pi) [/mm]
für alle [mm] z\in \IZ. [/mm] Aber auch [mm] C+z*\pi [/mm] ist eine Konstante,
und deshalb beinhaltet die Gleichung

       [m]\ u\ =\ tan(x+C)[/m]     [mm] (C\in \IR) [/mm]

nach wie vor alle Lösungen.

Schliesslich sollte man die Substitution rückgängig
machen: Wegen u(x)=x+y(x) haben wir

         [m]\ y(x)\ =\ u(x)-x\ =\ tan(x+C)-x[/m]


LG   Al-Chw.




    
    


Bezug
                
Bezug
DGL, Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 Sa 11.10.2008
Autor: Kreide

HAllo Al-Chw.

danke für deine hilfe. ich dachte man kann davon ausgehen, dass man weiß, dass (tan u)'=1+(tan [mm] u)^2 [/mm] ist.
Aber wie du'S gemacht hast ist schon irgendwie besser ;-)
Danke noch mal!
Lg
kreide

Bezug
                        
Bezug
DGL, Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Sa 11.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> HAllo Al-Chw.
>  
> danke für deine hilfe. ich dachte man kann davon ausgehen,
> dass man weiß, dass (tan u)'=1+(tan [mm]u)^2[/mm] ist.

    Auch wenn man das weiß, ist eben (wie du richtig vermutet
    hast)  nicht von vornherein klar, dass es nicht noch andere
    Funktionen f  mit der Eigenschaft  [mm] f'(x)=1+\left(f(x)\right)^2 [/mm] geben könnte.

> Aber wie du'S gemacht hast ist schon irgendwie besser ;-)
>  Danke noch mal!
>  Lg
>  kreide


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