DGL Lösungsansatz < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Löse: [mm] y''-y=x*e^{-x} [/mm] |
Ich habe Probleme mit dem Störgliedansatz.
Meine Lösung für die HDGL ist [mm] y_{h}=C1*e^{x}+C2*e^{-x}
[/mm]
Dann der Störgliedansatz:
[mm] y_{p1}=A+Bx
[/mm]
[mm] y_{p2}=x*e^{-x}, [/mm] x deshalb weil -1 eine Lsg. der charakt. Gl ist.
Zusammen ergibt das:
[mm] y_{p}=y_{p1}*y_{p2}=A*x*e^{-x}+B*x^{2}*e^{-x}
[/mm]
[mm] y'_{p}=A*e^{-x}-A*x*e^{-x}+2*B*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y''_{p}=-2*A*e^{-x}+2*B*e^{-x}-4*B*x*e^{-x}+B*x^{2}*e^{-x}
[/mm]
In die DGL eingesetzt:
[mm] y''_{p}-y=x*e^{-x}=(-2*A+2*B)*e^{-x}+(A-4*B)*x*e^{-x}+B*x^{2}*e^{-x}
[/mm]
[mm] e^{-x} [/mm] kürzt sich weg, bleibt:
[mm] x=(-2*A+2*B)+(A-4*B)*x+B*x^{2}
[/mm]
Wenn ich jetzt versuche Koeffizientenvergleich [mm] (0+1*x+0*x^{2}) [/mm] zu machen klappt es nicht.
B=0, A=B, A=1+4*B
Wo liegt mein Fehler?
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Do 17.08.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo jazzyjeff,
was ich entdeckt habe:
deine erste Ableitung stimmt nicht (ist unvollständig!)
[mm] y'_p=A*e^{-x}-A*x*e^{-x}+2*B*x*e^{-x}\red{-Bx²e^{-x}}
[/mm]
ob dein Ansatz allgemein zum Erfolg führt, habe ich nicht überprüft.
Probier es mal mit der neuen Ableitung, vielleicht klappt es ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Do 17.08.2006 | | Autor: | jazzyjeff |
Jetzt hat es geklappt:
y{p}= [mm] Axe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}
[/mm]
[mm] 'y{p}=Ae^{-x}-Axe^{-x}+2Bxe^{-x}-Bx^{2}e^{-x}
[/mm]
[mm] ''y{p}=-2Ae^{-x}+2Be^{-x}+Axe^{-x}-4Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}
[/mm]
[mm] y''-y=-2Ae^{-x}+2Be^{-x}+Axe^{-x}-4Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}-Axe^{-x}-Bx^2e^{-x}
[/mm]
[mm] y''-y=-2Ae^{-x}+2Be^{-x}-4Bxe^{-x}=xe^{-x}
[/mm]
Koeffizientenvergl:
-2A+2B=0 -> [mm] A=B=-\bruch{1}{4}
[/mm]
-4Bx=x -> [mm] B=-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] y=y{h}+y{p}=C1e^{x}+C2e^{-x}-\bruch{1}{4}xe^{-x}-\bruch{1}{4}x^{2}e^{-x}
[/mm]
Danke für die Hilfe!
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