DGL Problem nach der Trennung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mo 02.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Die Aufgabe ist sehr lang, diese wurde mehrmals gerechnet, und am einen Punkt habe ich zweifeln, und bekomme verschieden Ergebnisse:
Nach der Trennung der Variablen sieht das so aus:
[mm] $\bruch{du}{2u-1} [/mm] =dx$ |
Anschließend sollte ja integriert werden , hier habe ich 2 Möglichkeiten die verschiedene ergebnisse liefern aber warum ?
Version 1
[mm] $\bruch{du}{2u-1} [/mm] =dx$
[mm] $\bruch{du}{2(u-\bruch{1}{2})} [/mm] =dx$
[mm] $\bruch{1}{2}* \bruch{du}{(u-\bruch{1}{2})}=dx$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}*\integral{ \bruch{du}{(u-\bruch{1}{2})}} [/mm] = [mm] \integral{ dx}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}* [/mm] ln| u [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] | = x + ln|c|$
[mm] $\bruch{\wurzel{ u -\bruch{1}{2}}}{c}=e^{x} [/mm] => [mm] \red{u = e^{2x} * c^{2}+\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Version 2 (nichts ausgeklammert)
[mm] $\bruch{du}{2u-1} [/mm] =dx$
[mm] $\integral{\bruch{du}{2u-1}} [/mm] = [mm] \integral{dx} [/mm] $
[mm] $\bruch{1}{2}* [/mm] ln| 2u -1 | = x + ln|c|$
[mm] $\bruch{\wurzel{ 2u -1}}{c}=e^{x} [/mm] => [mm] \blue{u = \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}$
[/mm]
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und nu ?
$ [mm] \red{e^{2x} * c^{2}+\bruch{1}{2}} \not= \blue{ \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}$
[/mm]
$ [mm] \red{\bruch{\green{2*}\red{e^{2x} * c^{2}+1}}{2}} \not= \blue{ \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}$
[/mm]
was falsch gemacht , hab das jetzt mehr mals nachgerechnet bin langsam verzweifelt :-(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 02.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo al-Chw.
sorry habe beim Copy+Paste die 2 vergessen , wollte es bearbeiten aber du aber du warst mit der Antwort schneller 
aber die Ergebnisse aus den beiden stimmen!
> Vorsicht: die Integrationskonstanten in den beiden Berechnungsvarianten
> solltest du nicht beide mit dem gleichen Symbol bezeichnen, da sie nicht
> übereinstimmen müssen !
die Verschiedenen Varianten hab ich rein aus Neugier erstellt, diese müssen aber am Schluß das selbe ergeben
ähhm aber welche Lösung ist nun richtig ?
EDIT ON
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Version 2 (nichts ausgeklammert)
[mm] $\bruch{du}{2u-1} [/mm] =dx$
[mm] $\integral{\bruch{du}{2u-1}} [/mm] = [mm] \integral{dx} [/mm] $
[mm] $\bruch{1}{2}* [/mm] ln| 2u -1 | = x + ln|c|$
[mm] $\bruch{\wurzel{ 2u -1}}{c}=e^{x} [/mm] => [mm] \blue{u = \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}$
[/mm]
$ [mm] \red{e^{2x} * c^{2}+\bruch{1}{2}} \not= \blue{ \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}$
[/mm]
$ [mm] \red{\bruch{\green{2*}\red{e^{2x} * c^{2}+1}}{2}} \not= \blue{ \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}$
[/mm]
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EDIT OFF
in der version1 wurde lediglich die 2 im nenner ausgeklammert und vor das integral gezogen , was mathematisch ok ist aber das ergebniss, ist abweichend wenn ich nichts ausklammere ?
mfg
masa
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Hallo
ich erhalte bei der ersten Variante [mm] u = c^2 * e^{2*x} + \bruch{1}{2}[/mm]
und bei der zweiten [mm]u = \bruch{c^2}{2}* e^{2*x} + \bruch{1}{2}[/mm]
was aber keineswegs einen Widerspruch bedeutet, da die Konstanten c in
beiden Fällen unterschiedliche Werte haben dürfen...
LG al-Chw.
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Hallo,
> hallo al-Chw.
>
> sorry habe beim Copy+Paste die 2 vergessen , wollte es
> bearbeiten aber du aber du warst mit der Antwort schneller
>
>
> aber die Ergebnisse aus den beiden stimmen!
>
>
> > Vorsicht: die Integrationskonstanten in den beiden
> Berechnungsvarianten
> > solltest du nicht beide mit dem gleichen Symbol
> bezeichnen, da sie nicht
> > übereinstimmen müssen !
>
> die Verschiedenen Varianten hab ich rein aus Neugier
> erstellt, diese müssen aber am Schluß das selbe ergeben
>
> ähhm aber welche Lösung ist nun richtig ?
>
> EDIT ON
> ----------------
> Version 2 (nichts ausgeklammert)
>
> [mm]\bruch{du}{2u-1} =dx[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{du}{2u-1}} = \integral{dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}* ln| 2u -1 | = x + ln|c|[/mm]
>
> [mm]\bruch{\wurzel{ 2u -1}}{c}=e^{x} => \blue{u = \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\red{e^{2x} * c^{2}+\bruch{1}{2}} \not= \blue{ \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\red{\bruch{\green{2*}\red{e^{2x} * c^{2}+1}}{2}} \not= \blue{ \bruch{e^{2x} * c^{2}+1}{2}}[/mm]
>
> ----------------
> EDIT OFF
>
> in der version1 wurde lediglich die 2 im nenner
> ausgeklammert und vor das integral gezogen , was
> mathematisch ok ist aber das ergebniss, ist abweichend wenn
> ich nichts ausklammere ?
>
> mfg
> masa
Wie Al-Chw. schon festgestellt hat, unterscheiden sich deine beiden Ergebnisse lediglich in der Integrationskonstante.
[mm]\red{\red{e^{2x} * c^{2}+\bruch{1}{2}} \not= \blue{ e^{2x} * \bruch{c^{2}}{2}+\bruch{1}{2}}[/mm]
Also hast Du de facto en Ergebnis
[mm] $e^{2x} [/mm] * [mm] C+\bruch{1}{2}$
[/mm]
und ein Ergebnis
[mm] $e^{2x} [/mm] * [mm] D+\bruch{1}{2}$
[/mm]
mit [mm] C\in\IR [/mm] und [mm] D\in\IR [/mm] und C [mm] \not= [/mm] D.
Du kannst aber unendlich viele Lösungen aufschreiben, die sich nur in der Intergrationskonstanten unterscheiden: sie alle lösen sie deine DGL:
$u'(x)=2*u(x)-1$ .
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 02.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
aha dann habe ich es falsch verstanden.
danke euch beiden!
das Problem ist das wir die DGL'S in 3 verschiedenen Vorgehensweisen lösen
a) Substitution
b) Variation der Konstanten
c) Partikuläre Lösung
normal sollen die Lösungen aus a,b,c übereinstimmen ?
und wenn man unter a schon "verschiedene Ergebnisse hat " so hat man unter b ein anderes Ergebnis und da denke ich immer das ich irgendwo einen bock drin habe und rechne mich zur -tode :-(
Also nach der Berechnung sollte man die Konstanten möglichst alleine (ausklammern etc.) stehen lassen, dann sind die ergebnisse nur von konstanten abhängig oder wie !?
mfg
masa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 02.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> aha dann habe ich es falsch verstanden.
> danke euch beiden!
>
> das Problem ist das wir die DGL'S in 3 verschiedenen
> Vorgehensweisen lösen
>
> a) Substitution
> b) Variation der Konstanten
> c) Partikuläre Lösung
>
> normal sollen die Lösungen aus a,b,c übereinstimmen ?
Nein, a und b ja, wenn man dieselbe Dgl. mit beiden Methoden lösen kann.
wenn du nur ne "Partikuläre Lösung" hast, enthält die i.A. keine konstante, stimmt also mit a,b nur bei einer festen Wahl von C überein.
Normalerweise gehören zu ner DGL Anfangs oder Randbedingungen, die die Konstanten festlegen.
Also 2 allgemeine Lösungen stimmen überein, wenn sie durch Wahl der konstanten gleich gemacht werden können.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Di 03.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
> Also 2 allgemeine Lösungen stimmen überein, wenn sie durch Wahl der konstanten gleich gemacht werden können.
> Gruss leduart ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
habs denke ich geschnallt, da hilft wenn diese konstanten möglichst alleine stehen hat.
wie Al-Chwarizmi geschrieben hat:
> ich erhalte bei der ersten Variante $ u = [mm] c^2 \cdot{} e^{2\cdot{}x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
> und bei der zweiten $ u = [mm] \bruch{c^2}{2}\cdot{} e^{2\cdot{}x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
gut zu sehen.
> wenn du nur ne "Partikuläre Lösung" hast, enthält die i.A. keine konstante, stimmt also mit a,b nur bei einer festen Wahl von C überein.
@leduart
Meinst du das die endgültige Lösung sich aus dem Partikulärer und der Homogenen Lösung zusammensetzt ?
aber diese Zusammensetzung sollte dann der Lösungen, unter Verwendung der verschiedener Einsetze aus der a) Substitution und b) Variation der Konstanten übereinstimmen ?
thx nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:05 Di 03.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo masa-ru!
> Meinst du das die endgültige Lösung sich aus dem
> Partikulärer und der Homogenen Lösung zusammensetzt ?
> aber diese Zusammensetzung sollte dann der Lösungen,
> unter Verwendung der verschiedener Einsetze aus der a)
> Substitution und b) Variation der Konstanten übereinstimmen ?
Spätestens bei einem gegebenen Anfangswert sollten die Ergebnisse dann überenstimmen.
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
