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| Aufgabe | Betrachten Sie das AWP
[mm] y'=1+xy^2, [/mm] y(0)=0
a.) Zeigen Sie , dass die Lösung für ein [mm] x_E>0 [/mm] "explodiert". Finden Sie eine sinnvolle obere Schranke für [mm] x_E [/mm] mithilfe einer geeigneten Abschätzung der rechten Seite der DGL .
b.) Zeigen Sie, dass für x [mm] \in (-\infty,0) [/mm] die Lösung zwischen -1 und 0 bleibt. |
Hallo Forum,
ich sitze derzeit an dieser Aufgabe und habe bisher folgendes herausgefunden:
Wähle zunächst eine Hilfsfunktion mit Anfangswert:
[mm] z'=xz^2 [/mm] z(0)=a
1.Fall: Für a=0 hat das AWP nur die Nulllösung
2.Fall: Für a>0
z'= [mm] x*z^2
[/mm]
mit TdV komme ich auf
z(x)= [mm] -\bruch{1}{\bruch{1}{2}x^2+c}
[/mm]
und setze ich den AW ein:
[mm] z(x)=\bruch{1}{-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{a}}
[/mm]
Grenzwertbetrachtung ergibt:
[mm] \limes_{x\rightarrow \sqrt{\bruch{2}{a}}} z(x)=\infty
[/mm]
Dh für die Lösung y dauert es höchsten [mm] \sqrt{\bruch{2}{a}} [/mm] bis sie explodiert, denn z(x)<y(x).
und das gilt doch weil z und y monoton wachsend ist oder muss ich hier noch mehr zeigen?
Wäre über eure Antworten, Ratschläge, Verbesserungen sehr dankbar!
Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:55 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie das AWP
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> [mm]y'=1+xy^2,[/mm] y(0)=0
>
> a.) Zeigen Sie , dass die Lösung für ein [mm]x_E>0[/mm]
> "explodiert". Finden Sie eine sinnvolle obere Schranke für
> [mm]x_E[/mm] mithilfe einer geeigneten Abschätzung der rechten
> Seite der DGL .
>
> b.) Zeigen Sie, dass für x [mm]\in (-\infty,0)[/mm] die Lösung
> zwischen -1 und 0 bleibt.
> Hallo Forum,
>
> ich sitze derzeit an dieser Aufgabe und habe bisher
> folgendes herausgefunden:
>
> Wähle zunächst eine Hilfsfunktion mit Anfangswert:
>
> [mm]z'=xz^2[/mm] z(0)=a
>
> 1.Fall: Für a=0 hat das AWP nur die Nulllösung
>
> 2.Fall: Für a>0
>
> z'= [mm]x*z^2[/mm]
>
> mit TdV komme ich auf
>
> z(x)= [mm]-\bruch{1}{\bruch{1}{2}x^2+c}[/mm]
> und setze ich den AW ein:
> [mm]z(x)=\bruch{1}{-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{a}}[/mm]
>
> Grenzwertbetrachtung ergibt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \sqrt{\bruch{2}{a}}} z(x)=\infty[/mm]
>
> Dh für die Lösung y dauert es höchsten
> [mm]\sqrt{\bruch{2}{a}}[/mm] bis sie explodiert, denn z(x)<y(x).
>
> und das gilt doch weil z und y monoton wachsend ist
z(x)<y(x) folgt doch aus einem einschlägigen Satz aus der Theorie der Ober- und Unterfunktionen.
> oder
> muss ich hier noch mehr zeigen?
Wenn Ihr einen solchen Satz hattet, nicht
FRED
>
> Wäre über eure Antworten, Ratschläge, Verbesserungen
> sehr dankbar!
>
> Grüße
> Britta_lernt
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Hallo Fred,
danke fürs drüberschauen.
> z(x)<y(x) folgt doch aus einem einschlägigen Satz aus der
> Theorie der Ober- und Unterfunktionen.
den Satz hatten wir nicht in der Vorlesung also belasse ich es dabei.
Bei der b.) weiß ich nu nicht genau wie ich da weiter mache.
für x negativ sieht ja dann mein AWP so aus
[mm] y'=1-xy^2, [/mm] x>0
WIe kann ich jetzt von meiner DGL auf die Lösung schließen ohne, dass ich die Lösung weiß?
Darf ich mir hier jetzt auch so eine Hilfsfunktion nehmen? Irgendwie ja nicht. Wenn ich die Abschätzung von oben nehme krieg ich da irgendwie quatsch raus :(
Hast du noch einen Tipp für mich?
Liebe Grüße
Britta_lernt
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Hat keiner eine Idee? Wär mir wirklich wichtig.
Beste Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Fr 25.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für negative y bleibt die Dgl natürlich dieselbe, also x
[mm] y'=1+xy^2 [/mm] y(0)=0 y'(0)=1 d.h. wenn man von 0 nach links geht, wird die Steigung sicher kleiner aber pos , solange [mm] y^2*x<1
[/mm]
angenommen irgenwo wird [mm] y^2 [/mm] >1 also y<-1 ....
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
> für negative y bleibt die Dgl natürlich dieselbe, also
> x
> [mm]y'=1+xy^2[/mm] y(0)=0 y'(0)=1 d.h. wenn man von 0 nach links
> geht, wird die Steigung sicher kleiner aber pos , solange
> [mm]y^2*x<1[/mm]
> angenommen irgenwo wird [mm]y^2[/mm] >1 also y<-1 ....
> Gruss leduart
Dein Vorgehen leuchtet mir ein, jedoch verstehe ich nicht wie du das hier meinst:
Angenommen [mm] y^2>1 [/mm] , also y<-1... Ich weiß leider nicht wirklich wodrauf du hinaus willst :/ Kannst du mir noch einen Anstupser geben?
Beste Grüße Britta
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genauer:
in (0,0) ist die Steigung 1, d.h. nach links fällt y, aber die Steigung nimmt ab, d.h. y blebt oberhalb der Geraden y=x
die fkt hat irgendwo ihr Minimum y'=0 oberhalb
du kannst nachrechnen, dass im Min y''=2xy+xyy' [mm] =2x_m,y_m [/mm] großer 0 also nach links nach oben geht. weitere maxima oder minima gibt es nicht, und y kann nie wiedr x=0 erreichen (im endlichen), weil ja da y'=1 wäre.
wenn es klar ist musst du nur noch "schöner" aufschreiben.
Guss leduart
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