DGL dritter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Di 23.11.2010 | | Autor: | bollera |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von [mm] x^3*y'''+x^2*y''-2xy+2y=0 [/mm] |
Hallo allerseits...
Hab nur ne ganz kleine (doofe) Frage:
Habe eine Lösung "gesehen": [mm] y_1=\bruch{1}{x}, [/mm] den Ansatz [mm] y=y_1*z(x) [/mm] gemacht um die Ordnung zu reduzieren => [mm] x^2*w''-2xw'+2w=0 [/mm] (wobei z'=w).
Dann mache ich das ganze nochmal und komme hier zum Schluss zu einer Lösung.
Meine Frage: woher krieg ich denn dann die 3. Lösung? ist mir die irgendwo am Weg liegengeblieben? :-S
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo bollera,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
> [mm]x^3*y'''+x^2*y''-2xy+2y=0[/mm]
> Hallo allerseits...
> Hab nur ne ganz kleine (doofe) Frage:
> Habe eine Lösung "gesehen": [mm]y_1=\bruch{1}{x},[/mm] den Ansatz
> [mm]y=y_1*z(x)[/mm] gemacht um die Ordnung zu reduzieren =>
> [mm]x^2*w''-2xw'+2w=0[/mm] (wobei z'=w).
> Dann mache ich das ganze nochmal und komme hier zum
> Schluss zu einer Lösung.
> Meine Frage: woher krieg ich denn dann die 3. Lösung? ist
> mir die irgendwo am Weg liegengeblieben? :-S
Um das feststellen zu können, benötigen wir Deine Rechenschritte.
> Danke!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 23.11.2010 | | Autor: | bollera |
OK.
Habe mit dem oben angegebenen Ansatz, [mm] y=\bruch{1}{x}*z(x), [/mm] die DGL reduziert:
Einsetzen ergibt
[mm] x^2*z'''-2xz''+2z'=0, [/mm] hier substituiere ich w=z' => [mm] x^2*w''-2xw'+2w=0 [/mm] bzw. [mm] w''-\bruch{2}{x}*w'+\bruch{2}{x^2}*w=0
[/mm]
Diese möchte ich wieder mit dem Ansatz [mm] w=w_1*h(x) [/mm] reduzieren, wobei [mm] w_1=x [/mm] eine Lösung dieser DGL ist.
Ableiten des Ansatzes ergibt w'(x)=h(x)+x*h'(x), w''=2*h'(x)+x*h''(x).
Das setze ich in meine DGL ein und erhalte x*h''(x)=0.
Hier liegt schon mal mein Problem: x ist laut Angabe >0, also folgt h''(x)=0.
Darf ich jetzt h'(x)=k (eine Konstante) setzen? Und demnach h''(x)=kx?
Hab das einfach mal gemacht  und damit (Rücksubstitutionen) erhalten:
[mm] w(x)=w_1*h(x)=k*x^2
[/mm]
z'=w => [mm] z=\bruch{k*x^3}{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{x}*z(x) [/mm] => [mm] y=\bruch{k}{3}*x^2.
[/mm]
Dieses y wäre dann eine zweite Lösung; da es aber eine DGL dritten Grades ist, sollte ich doch 3 finden, oder?
Was hab ich da übersehen?
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Hallo bollera,
> OK.
> Habe mit dem oben angegebenen Ansatz, [mm]y=\bruch{1}{x}*z(x),[/mm]
> die DGL reduziert:
> Einsetzen ergibt
> [mm]x^2*z'''-2xz''+2z'=0,[/mm] hier substituiere ich w=z' =>
> [mm]x^2*w''-2xw'+2w=0[/mm] bzw.
> [mm]w''-\bruch{2}{x}*w'+\bruch{2}{x^2}*w=0[/mm]
>
> Diese möchte ich wieder mit dem Ansatz [mm]w=w_1*h(x)[/mm]
> reduzieren, wobei [mm]w_1=x[/mm] eine Lösung dieser DGL ist.
>
> Ableiten des Ansatzes ergibt w'(x)=h(x)+x*h'(x),
> w''=2*h'(x)+x*h''(x).
> Das setze ich in meine DGL ein und erhalte x*h''(x)=0.
>
> Hier liegt schon mal mein Problem: x ist laut Angabe >0,
> also folgt h''(x)=0.
> Darf ich jetzt h'(x)=k (eine Konstante) setzen? Und demnach
> h''(x)=kx?
>
> Hab das einfach mal gemacht und damit
> (Rücksubstitutionen) erhalten:
>
> [mm]w(x)=w_1*h(x)=k*x^2[/mm]
> z'=w => [mm]z=\bruch{k*x^3}{3}[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{x}*z(x)[/mm] => [mm]y=\bruch{k}{3}*x^2.[/mm]
>
> Dieses y wäre dann eine zweite Lösung; da es aber eine
> DGL dritten Grades ist, sollte ich doch 3 finden, oder?
>
> Was hab ich da übersehen?
>
Zunächst ist eine zweite Lösung der DGL
[mm]w''-\bruch{2}{x}*w'+\bruch{2}{x^2}*w=0[/mm]
[mm]w_{2}=k*x^{2}[/mm]
Somit ergibt sich die allgemeine Lösung dieser DGL zu:
[mm]w\left(x\right)=c*x+k*x^{2}[/mm]
Dann ist [mm]z=\integral_{}^{}{c*x+k*x^{2} \ dx}=\bruch{c}{2}*x^{2}+\bruch{k}{3}*x^{2}[/mm]
Damit ergibt sich die "zweite" Lösung der gegebenen DGL zu
[mm]y_{2}\left(x\right)=\bruch{1}{x}*\left(\bruch{c}{2}*x^{2}+\bruch{k}{3}*x^{2}\right)=c_{2}*x+c_{3}*x^{2}[/mm]
Und somit die allgemeine Lösung der gegebenen DGL zu
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*y_{1}\left(x\right)+y_{2}\left(x\right)=c_{1}*\bruch{1}{x}+c_{2}*x+c_{3}*x^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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