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| Aufgabe | [mm] (2y-3x^{2}-1)y'=6xy,
[/mm]
AWP: y(1)=4
Lösen Sie das AWP und geben Sie die Lösung in expliziter Form y= f(x) an!
Lösung:
[mm] 3x^2+1 [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem, wie ich schnellstmglst. sehe, mit welcher Herangehensweise ich bei einer DGL zum Ziel komme bzw. ist mir das mit den exakten DGL-Erkennen noch nicht ganz klar:
Bei dieser Aufgabe vermutete ich, dass die Klammer vor dem y' (sei Q) nach x abgeleitet das selbe ist wie die rechte Seite (sei P) nach y abgeleitet.
Aber leider steht ja ein "Minus" dort.
Also bin ich mir unsicher: Ich weiß, dass ich die Schritte zur Lsg. einer exakten DGL nicht anwenden darf, und in solchen Fällen der Langrange-Multiplikator zum Einsatz kommen muss.
Meine Fragen:
1. Ist es nicht möglich, das VZ doch iwie "auszutricksen" und dann doch das Exakte-DGL-Verfahren zu benutzen?
2. Was passiert eigentlich, wenn ich eine "exakte" DGL (z.b. wg. falsch ableiten) NCIHT als solche erkenne und sie mittels Mulitplikator löse? KOmmt dasselbe raus? Ist doch nur aufwendiger, oder?
3. Muss ich hier nun mit dem Multiplikator arbeiten?
Vielen Dank,
LZ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Deine DGL lautet umgeschrieben:
[mm] $(-6xy)dx+(2y-3x^2-1)dy=0$
[/mm]
und diese Gleichung ist exakt !!
FRED
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Hallo, danke...Ich stünde eigentlich schon rot vor Scham in der Ecke, wenn ich nicht trotzdem noch die anderen Fragen hätte...
Mir ist bei diesem Beispiel nicht ganz klar, für was ich die Angabe y(1)=4 eigentlich brauche....Denn auf die explizite Form der Gleichung y kam ich ja durch das Lösen der DGL....Und das ist auch die Angabe auf dem Lösungsblatt....Müsste ich nicht, um das AWP zu lösen, iwas mit dem y=4 und de, x=1 anfangen?!
Außerdem habe ich in der Zwischenzeit versucht, das ganze mit diesem Multiplikatoreinsatz zu probieren, aber es wollte sich nie ein P dy = Q dx einstellen...Also hätte der Multiplikatoreinsatz garnicht funktioniert.....!
Ist das denn immer so, dass der Multipl.ansatz NICHT funzt, wenn ich eine exakte DGL habe?
Tut mir leid, wenn ich erstens schon nicht mehr durchblicke und zweitens auchnoch blöde Fragen stelle...aber das dient meinem Verständnis...:-(
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frage 1:
Meine Fragen:
1. Ist es nicht möglich, das VZ doch iwie "auszutricksen" und dann doch das Exakte-DGL-Verfahren zu benutzen?
das wurde dir ja schon gezeigt
2. Was passiert eigentlich, wenn ich eine "exakte" DGL (z.b. wg. falsch ableiten) NCIHT als solche erkenne und sie mittels Mulitplikator löse? KOmmt dasselbe raus? Ist doch nur aufwendiger, oder?
da der multiplikator nicht NULL sein darf und du die gleichung, also beide seiten mit diesem multiplikator multiplierst muss es auch dann stimmen ... ich hoffe du meinst den integrierenden faktor
3. Muss ich hier nun mit dem Multiplikator arbeiten?
wenn sie exakt ist ist das nur ein mehraufwand
frage 2:
das [mm] y_0=y(x_0) [/mm] ist eine anfangsbedingung ...
deine lösung ist eine ganze kurvenschar ... und mit der AB bekommst du eine spezielle lösung die durch diesen punkt geht raus
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Okay, ich dachte iwie, dass in jeder y-lösung einer DGL eine Constante C enthalten ist, die ich iwie erst noch durch einsetzen der AWP-koordinaten errechnen muss....aber dies ist ja offensichtlich nicht der fall...
Danke dir!
LG,
LZ
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naja ... du bekommst eine allgemeine lösung bei deinem beispiel und diese allgemeine machst du mit der AB zu speziellen lösung ...
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